쌍곡선함수

정의

쌍곡선함수(hyperbolic function)는 지수함수를 이용해 정의되는 다음 함수를 가리킨다.

• 쌍곡사인
  [math]\displaystyle{ \sinh x =\frac{e^x - e^{-x}}{2} }[/math]
• 쌍곡코사인
  [math]\displaystyle{ \cosh x=\frac{e^x + e^{-x}}{2} }[/math]
• 쌍곡탄젠트
  [math]\displaystyle{ \tanh x =\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} }[/math]
• 쌍곡시컨트
  [math]\displaystyle{ \operatorname{sech} x = \frac{2}{e^x + e^{-x}} }[/math]
• 쌍곡코시컨트
  [math]\displaystyle{ \operatorname{csch} x = \frac{2}{e^x - e^{-x}} }[/math]
• 쌍곡코탄젠트
  [math]\displaystyle{ \coth x = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} }[/math]

성질

[math]\displaystyle{ \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 }[/math]

쌍곡코사인은 짝함수이고, 쌍곡사인은 홀함수이다. 즉, 다음 관계식이 성립한다.

[math]\displaystyle{ \cosh x = \cosh (-x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sinh x = -\sinh (-x) }[/math]

삼각함수와의 관계

[math]\displaystyle{ \sinh x = i \sin ix }[/math]

[math]\displaystyle{ \cosh x = \cos ix }[/math]

[math]\displaystyle{ \tanh x=-i\tan ix }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{sech} x = \sec ix }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{csch} x = i\csc ix }[/math]

[math]\displaystyle{ \coth x = i\cot ix }[/math]

도함수

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}\tanh x=\operatorname{sech}^2 x }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}\operatorname{sech} x=-\operatorname{sech} x \tanh x }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}\operatorname{csch} x=-\operatorname{csch} x \coth x }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}\coth x=-\operatorname{csch}^2 x }[/math]

원시함수

[math]\displaystyle{ \int \sinh x=\cosh x + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \cosh x=\sinh x + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \tanh x=\ln \cosh x + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \operatorname{sech} x=\arctan \sinh x + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \operatorname{csch} x=\ln\left|\tanh \frac{x}{2}\right|+C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \coth x=\ln |\sinh x| + C }[/math]

테일러 급수

이와 관련한 내용은 테일러 급수에서 볼 수 있습니다.

[math]\displaystyle{ \cosh x = 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots }[/math]

[math]\displaystyle{ \sinh x = x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots }[/math]