유한군의 부분군 판정법에 관해
[math]\displaystyle{ a \in H }[/math]이겠죠? 그리고 eG가 H에 있는지 아직 모르는 거 아닌가요~
그냥 a를 왼쪽에 곱하는 함수 [math]\displaystyle{ \lambda_a }[/math]가 H의 원소를 permute하므로(∵ 곱셈에 대해 닫혀 있고, 유한집합임), [math]\displaystyle{ \left(\lambda_a\right)^{-1} a \in H }[/math]가 eG이고, [math]\displaystyle{ \left(\lambda_a\right)^{-1} e_G \in H }[/math]가 a의 역원이라고 하면 안 되나요… --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 5일 (토) 02:59:11 (KST)
- 증명에 미비한 부분이 있었네요. 증명의 내용을 보존한다는 전제 아래 한줄씩 보충하면 될 것 같습니다. [math]\displaystyle{ a\in H }[/math]임을 명시하고 [math]\displaystyle{ a^i=a^j }[/math]인 서로 다른 [math]\displaystyle{ i,j\in \mathbb{N} }[/math]가 존재한다던가 하는 식으로요.
- \(H\)의 원소를 permute하므로...의 설명이 무엇을 뜻하는지 전체적으로 이해가 안 갑니다. 가령 \(\lambda_a\)를 설정한다는 게 매우 생소한데, 임의의 [math]\displaystyle{ x\in H }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \lambda_a(x)=ax }[/math]를 뜻하는 건가요? 좀 더 자세히 설명해주시면 감사하겠습니다. -- Hwangjy9 (토론) 2015년 9월 5일 (토) 07:44:09 (KST)
- 지금 봤네요. [math]\displaystyle{ a \in H }[/math]에 대해 a를 왼쪽에 곱하는 함수 [math]\displaystyle{ \lambda_a : H \to H,\; x \mapsto ax }[/math]를 생각합니다(H가 곱셈에 대해 닫혀 있으므로 공역을 그냥 H로 써도 되겠지요). 이 함수는 당연히 단사함수이고(ax=ay를 G의 등식으로 생각하고 a를 소거하면 됩니다), H는 유한집합이므로 이 함수는 전단사함수입니다. [math]\displaystyle{ \lambda_a }[/math]가 H에서 H로 가는 전단사함수라는 것을 다른 말로 H의 원소를 permute한다고 하는 걸로 알고 있습니다. 어쨌건, 따라서 [math]\displaystyle{ \lambda_a }[/math]의 역함수를 생각할 수 있습니다.
- 이제 [math]\displaystyle{ \left(\lambda_a\right)^{-1} a \in H }[/math]를 생각해 보면, G의 등식 [math]\displaystyle{ a \left(\lambda_a\right)^{-1} a = a = a e_G }[/math]에서 a를 소거하면 [math]\displaystyle{ \left(\lambda_a\right)^{-1} a = e_G \in H }[/math]임을 알 수 있습니다.
- 마찬가지 방법으로 [math]\displaystyle{ \left(\lambda_a\right)^{-1} e_G \in H }[/math]는 a의 역원인 점도 알 수 있습니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 29일 (화) 03:01:49 (KST)