틀:학술 틀:토막글 집합 [math]\displaystyle{ A\subseteq \mathbb{R}^m }[/math]와 함수 [math]\displaystyle{ f:A\to \mathbb{R}^n }[/math]를 두자. 그리고 [math]\displaystyle{ A }[/math]가 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math]의 근방을 포함한다고 하자. 영이 아닌 [math]\displaystyle{ u\in \mathbb{R}^m }[/math]이 주어졌을 때,
- [math]\displaystyle{ f'(\mathbf{x};\mathbf{u})=\lim_{t\to 0}\frac{f(\mathbf{a}+t\mathbf{u})-f(\mathbf{a})}{t} }[/math]
를 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math]에서 [math]\displaystyle{ \mathbf{u} }[/math]에 대한 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 방향도함수(directional derivative)라고 한다.
만약 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math]에서 미분가능하면 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 모든 방향도함수가 존재하고
- [math]\displaystyle{ f'(\mathbf{x};\mathbf{u})=Df(\mathbf{x})\cdot \mathbf{u} }[/math]
이다. 그 역은 성립하지 않는다.