선형범함수

정의

V를 체 F 위의 벡터공간이라고 하자. V에서 F로의 선형변환을 선형범함수(linear functional) 또는 일차형식(linear form)이라고 한다. 즉 임의의 [math]\displaystyle{ c\in F }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 }[/math], 선형범함수 f에 대해

[math]\displaystyle{ f(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=f(\mathbf{v}_1)+f(\mathbf{v}_2) }[/math]

[math]\displaystyle{ f(c\mathbf{v}_1)=cf(\mathbf{v}_1) }[/math]

이다.

예시

[math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n }[/math]에서 상수 [math]\displaystyle{ \mathbf{c}=(c_1,c_2,\cdots,c_n) }[/math]가 주어졌다고 하자. 임의의 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n) }[/math]에 대해 함수 [math]\displaystyle{ f:\mathbb{C}^n\to \mathbb{C} }[/math]가

[math]\displaystyle{ f(\mathbf{v})=\overline{c_1}v_1+\overline{c_2}v_2+\cdots+\overline{c_n}v_n }[/math]

으로 주어지면, f는 선형범함수다.

성질

• 유한차원 벡터공간 V 위의 모든 선형범함수의 벡터공간 을 [math]\displaystyle{ V^* }[/math]라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \dim V^*=\dim V }[/math]이다.