진술
구간 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]에서 정의된 미분가능한 함수 [math]\displaystyle{ f,g:(a,b)\to\mathbb{R} }[/math]에 대해 극한값
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)} }[/math]
가 존재한다고 하자.[1] 이때
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a+0}f(x)=0,\;\lim_{x\to a+0}g(x)=0 }[/math]이거나
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a+0}f(x)=\infty,\;\lim_{x\to a+0}g(x)=\infty }[/math]
이면,
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a+0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)} }[/math]
이다.
[math]\displaystyle{ a+0 }[/math]을 [math]\displaystyle{ \infty }[/math]로 바꾸어도 로피탈의 정리는 성립한다.
구간 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]에서 정의된 미분가능한 함수 [math]\displaystyle{ f,g:(a,b)\to\mathbb{R} }[/math]에 대해 극한값
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} }[/math]
가 존재한다고 하자. 이때
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=0,\;\lim_{x\to\infty}g(x)=0 }[/math]이거나
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty,\;\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty }[/math]
이면,
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} }[/math]
이다.
증명
예시
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to +0}x^m(\ln x)^n }[/math]의 값을 구해보자. 이때 [math]\displaystyle{ m,n\in \mathbb{N} }[/math]이다.
교육과정 도입 논의
고등학교 수학 교육과정에 로피탈의 정리를 함께 도입함으로써 수능 수리영역 문제를 신속하고 정확하게 풀 수 있다고 주장한 학술지논문이 존재한다. 저자는 고등학생 100명을 로피탈의 정리를 활용하여 문제를 푸는 50명(준거집단)과 기본적인 극한의 성질만 이용해 문제를 푸는 집단(비교집단)으로 나누어 10분 동안 10개의 문제를 풀게 했다. 두 번 테스트한 결과, 준거집단의 성적 평균이 비교집단보다 각각 0.5, 0.7점 높았고, 표준편차는 0.11, 0.07 차이로 근소하게 작았다.[2]
학위논문 중에도 로피탈의 정리를 고등학교 수학 교육과정에 도입하자는 주제를 담은 글이 간간이 올라오곤 한다. 윤찬식(2007)은 로피탈의 정리가 문제해결의 신속성과 정확성을 향상시킬 수 있다는 주장을 펼쳤는데, 이는 이준호 · 이병무(2003)와 비슷하다. 단 기본적인 극한의 성질과 로피탈의 정리를 모두 자유롭게 쓸 수 있도록 한 이준호 · 이병무(2003)와 달리 문제를 기본적인 극한의 성질만 사용해 푼 다음 동일한 문제를 로피탈의 정리만 사용해서 풀도록 제한했다.[3]