행렬 노름(Matrix norm)은 노름을 행렬로 확장한 개념이다.
정의
[math]\displaystyle{ M_n }[/math]을 복소수 성분을 가지는 모든 n차 정사각행렬을 원소로 가지는 벡터공간이라 하자. 함수 [math]\displaystyle{ \left\|\cdot\right\|:M_n\to\mathbb{R} }[/math]이 모든 [math]\displaystyle{ A,B\in M_n }[/math]에 대해
- (1) [math]\displaystyle{ \left\|A\right\| \ge 0 }[/math]
- (1a) [math]\displaystyle{ \left\|A\right\| =0 \Leftrightarrow A=0 }[/math]
- (2) [math]\displaystyle{ \left\|cA\right\|=\left|c\right|\left\|A\right\| }[/math] (단, [math]\displaystyle{ c\in \mathbb{C} }[/math])
- (3) [math]\displaystyle{ \left\|A+B\right\|\le\left\|A\right\|+\left\|B\right\| }[/math]
- (4) [math]\displaystyle{ \left\|AB\right\|\le\left\|A\right\|\left\|B\right\| }[/math]
를 만족하면 행렬 놈이라 한다.
예시
다음은 행렬 노름이다.
- [math]\displaystyle{ \left\|A\right\|_1=\sum_{i,j=1}^n\left|a_{ij}\right| }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left\|A\right\|_2=\left(\sum_{i,j=1}^n \left|a_{ij}\right|^2\right)^\frac{1}{2} }[/math]
다음은 행렬 노름이 아니다.
- [math]\displaystyle{ \left\|A\right\|_{\infty}=\max_{1\le i,j\le n}\left|a_{ij}\right| }[/math]
참고문헌
- Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6