군의 작용

정의

군 [math]\displaystyle{ G }[/math]와 집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 대해, 함수 [math]\displaystyle{ \cdot : G\times X \to X }[/math]에 대해

• 임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ e_G \cdot x = x }[/math]
• 임의의 [math]\displaystyle{ g_1, g_2\in G }[/math], [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ (g_1g_2)\cdot x = g_1 \cdot (g_2 \cdot x) }[/math]

이면 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math]을 (왼쪽) 군의 작용((left) group action)이라고 하고, [math]\displaystyle{ G }[/math]가 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 작용한다고 한다. 마찬가지로 함수 [math]\displaystyle{ \cdot : X\times G \to X }[/math]에 대해

• 임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x\cdot e_G = x }[/math]
• 임의의 [math]\displaystyle{ g_1, g_2\in G }[/math], [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x\cdot (g_1g_2) = (x\cdot g_1)\cdot g_2 }[/math]

이면 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math]을 오른쪽 군의 작용(right group action)이라고 한다.

예시

• 군 [math]\displaystyle{ G }[/math]가 자신에게 작용할 때, [math]\displaystyle{ g\cdot x=gxg^{-1} }[/math]은 군의 작용이다.

종류

• 함수 [math]\displaystyle{ x\mapsto g\cdot x }[/math]가 [math]\displaystyle{ g=e_G }[/math]일 때만 항등함수이면 군의 작용이 충실(faithful) 또는 효과적(effective)이라고 한다.
• 임의의 [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g\cdot x_1=x_2 }[/math]인 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]가 존재하면 군의 작용이 추이적(transitive)이라고 한다.
• 임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g\cdot x=x }[/math]이면 [math]\displaystyle{ g=e_G }[/math]일 때 군의 작용이 자유(free)라고 한다.

궤도와 안정자

군 [math]\displaystyle{ G }[/math]가 집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 작용한다고 하자. 이때

[math]\displaystyle{ O_x=\{g\cdot x:g\in G\} }[/math]

를 궤도(orbit)라고 하고

[math]\displaystyle{ G_x=\{g\in G:g\cdot x=x\} }[/math]

를 안정자(stabilizer)라고 한다. 안정자는 군이다.

임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ |O_x||G_x|=|G| }[/math]

이 성립한다. 이를 궤도-안정자 정리(orbit-stabilizer theorem)라고 한다.

Orbit-Decomposition formula

Group [math]\displaystyle{ G }[/math] 가 집합 [math]\displaystyle{ S }[/math] 에 작용한다고 하자. 그러면 우리는 집합 [math]\displaystyle{ S }[/math] 를 orbit 들의 disjoint union 으로 나타낼 수 있다.

\begin{equation} S = \amalg_{i \in I} O_{s_i} \end{equation} 여기서 [math]\displaystyle{ \amalg }[/math] 는 이것이 disjoint union 이라는 것을 말한다. 이로부터 [math]\displaystyle{ S }[/math] 가 유한집합일 때,

\begin{align} {card}(S) &= \sum_{i \in I} {card}\left (O_{s_i} \right ) \\ &= \sum_{i \in I} \left (G:G_{s_i} \right ) \end{align} 가 성립한다.

이때,

\begin{equation} {card}(S) = \sum_{i \in I} \left (G:G_{s_i} \right ) \end{equation}

를 orbit-decomposition formula 라고 한다.

같이 보기

• 번사이드 보조정리

참고 서적

• Serge Lang (2002). 《Algebra》. Springer. ISBN 978-0387953854