유수 (복소해석학)

정의

복소함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ 0\lt |z-z_0|\lt R }[/math]에서 해석적이면 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 로랑 급수

[math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n }[/math]

이 존재한다. 이때 [math]\displaystyle{ a_{-1} }[/math]을 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 유수(Residue)라 하고, [math]\displaystyle{ \operatorname{Res}(f;z_0) }[/math]이라 한다.

유수를 다른 방법으로 정의하기도 한다. 단순닫혀 있고 양의 방향인 경로 [math]\displaystyle{ C }[/math]가 주어졌을 때, 복소함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ C }[/math] 위와 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]을 제외한 내부에서 해석적이고 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]이 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 고립특이점이면,

[math]\displaystyle{ \operatorname{Res}(f;z_0)=\int_C f(z)dz }[/math]

을 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 유수라고 한다.

계산

[math]\displaystyle{ z=z_0 }[/math]에서 단순극을 가질 때

[math]\displaystyle{ \operatorname{Res}(f;z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) }[/math]

이다. 더욱이 극점의 계수가 [math]\displaystyle{ n }[/math]일 때

[math]\displaystyle{ \operatorname{Res}(f;z_0)=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to z_0}\left(\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}(z-z_0)^n f(z)\right) }[/math]

이 성립한다.

예제

• 문제: 양의 방향인 경로 [math]\displaystyle{ C }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ C:|z|=1 }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ \int_C \frac{e^z}{z^2}dz }[/math]를 구하시오.

Solution [math]\displaystyle{ \frac{e^z}{z^2} }[/math]는 [math]\displaystyle{ z=0 }[/math]에서 극점을 가지며, 극점의 계수는 2이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \begin{align} \operatorname{Res}f(f;0)&=\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}z^2 \frac{e^z}{z^2}\\ &=\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}e^z\\ &=\lim_{z\to 0}e^z\\ &=1 \end{align} }[/math] 이므로 [math]\displaystyle{ \begin{align} \int_C \frac{e^z}{z^2}dz&=2\pi i \cdot 1\\ &=2\pi i \end{align} }[/math] 이다.

유수 정리

이와 관련한 내용은 유수 정리에서 볼 수 있습니다.

[math]\displaystyle{ \int_C f(z)dz = 2\pi i \sum_{j=1}^n \operatorname{Res}(f;z_j) }[/math]