대칭군: 두 판 사이의 차이

2015년 5월 3일 (일) 14:18 판

대칭군(Symmetric group)은 합성치환을 연산으로 하는, 모든 치환 [math]\displaystyle{ \sigma:\{1,2,\cdots, n\}\to\{1,2,\cdots, n\} }[/math]의 집합으로, S_n으로 나타낸다.

대칭군의 원소 [math]\displaystyle{ f,g,h\in S_n }[/math]에 대해,

일대일 대응의 합성은 일대일 대응이므로 [math]\displaystyle{ f \circ g\in S_n }[/math]
일대일 대응의 합성은 결합법칙이 성립하므로 [math]\displaystyle{ (f\circ g)\circ h = f\circ (g\circ h) }[/math]
[math]\displaystyle{ e=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 2 & \cdots & n\end{pmatrix} }[/math]으로 정의하면 [math]\displaystyle{ f\circ e= e \circ f =f }[/math]이다.
일대일 대응의 역함수는 일대일 대응이므로, 임의의 f에 대해 [math]\displaystyle{ f^{-1}\in S_n }[/math]이고 [math]\displaystyle{ f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f = e }[/math]이다.

따라서 대칭군은 군이다. 그러나 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않으므로, 대칭군은 일반적으로 아벨군이 아니다.

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 {{학술 관련 정보}}
-{{토막글}}
 == 정의 ==
-'''대칭군(Symmetric group)'''은 모든 [[치환]] <math>\sigma:\{1,2,\cdots, n\}\to\{1,2,\cdots, n\}</math>의 집합으로, ''S<sub>n</sub>''으로 나타낸다.
+'''대칭군(Symmetric group)'''은 합성치환을 연산으로 하는, 모든 [[치환]] <math>\sigma:\{1,2,\cdots, n\}\to\{1,2,\cdots, n\}</math>의 집합으로, ''S<sub>n</sub>''으로 나타낸다.
+=== 대칭군은 군인가? ===
+대칭군의 원소 <math>f,g,h\in S_n</math>에 대해,
+* 일대일 대응의 합성은 일대일 대응이므로 <math>f \circ g\in S_n</math>
+* 일대일 대응의 합성은 결합법칙이 성립하므로 <math>(f\circ g)\circ h = f\circ (g\circ h)</math>
+* <math>e=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 2 & \cdots & n\end{pmatrix}</math>으로 정의하면 <math>f\circ e= e \circ f =f</math>이다.
+* 일대일 대응의 역함수는 일대일 대응이므로, 임의의 ''f''에 대해 <math>f^{-1}\in S_n</math>이고 <math>f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f = e</math>이다.
+따라서 대칭군은 [[군 (수학)|군]]이다. 그러나 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않으므로, 대칭군은 일반적으로 [[아벨군]]이 아니다.
 [[분류:군 (수학)]]