절댓값

절댓값(絶對-, absolute value)은 실수나 복소수 (또는 사원수)에 대하여, 수직선이나 복소평면의 원점에서부터 그 수까지의 거리로, 놈의 특수한 경우이다. 기호로 [math]\displaystyle{ |x| }[/math]로 나타내며, 프로그래밍 언어 등에서는 absolute의 앞 세 글자를 따 abs(x)라고 쓴다.

실수

실수 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대하여, 절댓값 [math]\displaystyle{ |x| }[/math]을

[math]\displaystyle{ |x| := x\operatorname{sgn} x = \begin{cases} a, & \textrm {if } a \ge 0 \\ -a, & \textrm{if } a \lt 0. \end{cases} }[/math]

으로 정의한다. 절댓값은 완전 곱셈적 함수이며, 거리함수의 일종이므로 삼각부등식이 성립하는 등의 성질을 만족한다.

• [math]\displaystyle{ |x| = \sqrt{a^2} }[/math] (거듭제곱으로의 표현)
• [math]\displaystyle{ |a| \ge 0 }[/math]
• [math]\displaystyle{ |a| = 0 \iff a = 0 }[/math]
• [math]\displaystyle{ |ab| = |a||b| }[/math] (완전 곱셈적)
• [math]\displaystyle{ |a+b| \le |a| + |b| }[/math] (삼각부등식 1)
• [math]\displaystyle{ |(|a|)| = |a| }[/math] (멱등성)
• [math]\displaystyle{ |-a| = |a| }[/math] (우함수)
• [math]\displaystyle{ |a - b| = 0 \Leftrightarrow a = b }[/math]
• [math]\displaystyle{ |a - b| \le |a - c| + |c - b| }[/math] (삼각부등식 2)
• [math]\displaystyle{ |a-b| \ge |(|a| - |b|)| }[/math] (삼각부등식 3)
• [math]\displaystyle{ |a| \le b \Leftrightarrow -b \le a \le b }[/math]
• [math]\displaystyle{ |a| \ge b \Leftrightarrow a \le -b\le 0\ or 0 \le b \le a }[/math]

참고

• 놈 (수학)
• 거리 공간