함수

쉬운 정의

두 변수 x, y가 있을 때, x가 정해지면 그에 따라 y가 하나로 정해질 때, y를 x의 함수(function of x)라고 하고,

y=f(x)

와 같이 나타낸다.

예를 들어 한 권에 1,000원짜리 공책을 x권 사는 경우를 생각해 보자. 그럼 지불해야 할 금액 y원은 아래와 같다.

y = f(x)

구입한 권수 x (권)	1	2	3	4	5
지불할 금액 y (원)	1,000	2,000	3,000	4,000	5,000

이처럼 공책을 한 권 사면 천 원, 두 권 사면 이천 원이라는 식으로 가격이 하나로 정해지지, 한 권 샀는데 가격이 천 원이지만 이천 원이기도 하다는 식으로 되지는 않는다. 따라서 위 지불할 금액 y는 과연 구입한 권수 x의 함수가 된다.

이때 공책 세 권을 살 때(즉 x=3)의 가격은 함수의 이름 f를 써서 f(3)과 같이 나타내며, 위 표에 따르면 f(3)=1,000임을 알 수 있다. 이러한 x에 따라 결정된 y의 값, 즉 f(1), f(3) 등을 함숫값이라고 한다.

위 함수는 y = 1,000 x라는 식으로 간단하게 나타낼 수 있다. 함숫값을 구하기 위해서는 이 함수식에 원하는 x 값을 대입하면 된다.

한편, 하나의 x 값에 대한 y 값은 하나여야 하지만, 하나의 y 값에 대한 x 값은 여럿이어도 된다. 예를 들어 아래와 같아도 여전히 함수이다.

y = g(x)

구입한 권수 x (권)	1	2	3	4	5
지불할 금액 y (원)	1,000	2,000	2,000	3,000	4,000

(학기초에 공책 3권에 2,000원으로 묶음판매한 경우)

이때는 앞서와 같이 y = 1,000 x라는 식으로 간단하게 나타내기는 곤란하다. 그렇다고 해서 함수가 아닌 것은 아니다! 즉 규칙을 찾기 곤란하다고 함수가 아닌 것은 아니다. 언제나 정의대로 x가 정해지면 그에 따라 y가 하나로 정해질 때 y를 x의 함수라고 한다.

그럼 이런 경우에는 함숫값은 어떻게 구하는가? 표를 보고 구하면 된다.

진짜 정의는 아래에 있다.

정의

이항관계 [math]\displaystyle{ f\subseteq X\times Y }[/math]가 주어졌다고 하자. 임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 다음 조건

• [math]\displaystyle{ (x,y)\in f }[/math]인 [math]\displaystyle{ y\in Y }[/math]가 존재한다.
• [math]\displaystyle{ (x,y_1)\in f }[/math]이고 [math]\displaystyle{ (x,y_2)\in f }[/math]이면 [math]\displaystyle{ y_1=y_2 }[/math]이다.

을 만족하면, f를 X에서 Y로의 함수(function)라고 하고, [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]로 쓴다.

대안적으로 다음과 같이 정의할 수도 있다. 이항관계 f가 조건

[math]\displaystyle{ (x,y_1)\in f }[/math]이고 [math]\displaystyle{ (x,y_2)\in f }[/math]이면 [math]\displaystyle{ y_1=y_2 }[/math]이다.

를 만족하면 f를 함수라 한다. 만약 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} f=X ,\operatorname{ran} f\subseteq Y }[/math]라면 [math]\displaystyle{ f: X \to Y }[/math]로 표기한다.