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* 정규부분군의 정규부분군은 정규부분군이 '''아니다'''. | * 정규부분군의 정규부분군은 정규부분군이 '''아니다'''.<ref>예를 들어 {(12)(34)}⊴''V''<sub>4</sub>⊴''A''<sub>4</sub>이지만 {(12)(34)}가 ''A''<sub>4</sub>의 정규부분군인 것은 아니다.</ref> | ||
** 그러나, <math>N\le H\le G</math>이고 <math>N\trianglelefteq G</math>이면 <math>N\trianglelefteq H</math>이다. | ** 그러나, <math>N\le H\le G</math>이고 <math>N\trianglelefteq G</math>이면 <math>N\trianglelefteq H</math>이다.<ref>증명: 임의의 ''g''∈''G''에 대해 ''gN''=''Ng''이므로 임의의 ''g''∈''H''에 대해서도 당연히 ''gN''=''Ng''이다.</ref> | ||
* 정규부분군의 교집합은 정규부분군이다. 즉, ''N''과 ''K''가 ''G''의 정규부분군이면, <math>N\cap K</math>는 ''G''의 정규부분군이다. | * 정규부분군의 교집합은 정규부분군이다. 즉, ''N''과 ''K''가 ''G''의 정규부분군이면, <math>N\cap K</math>는 ''G''의 정규부분군이다.<ref>증명: 임의의 ''g''∈''G'' 및 ''x''∈''N''∩''K''에 대해 ''gxg''<sup>−1</sup>를 생각하면, 이는 ''N''이 정규부분군이므로 ''N''에 속하고, ''K''가 정규부분군이므로 ''K''에도 속한다. 따라서 ''gxg''<sup>−1</sup>∈''N''∩''K''.</ref> | ||
* ''N''과 ''K''가 ''G''의 정규부분군이면, 집합 <math>NK=\{nk\vert n\in N \land k\in K\}</math><ref>이와 달리 ''H''와 ''K''가 단순히 ''G''의 부분군이기만 한 경우에는 집합 <math>HK=\{hk\vert h\in H \land k\in K\}</math>는 부분군조차 되지 못할 수도 있음에 유의하여야 한다.</ref>는 ''G''의 정규부분군이다. | * ''N''과 ''K''가 ''G''의 정규부분군이면, 집합 <math>NK=\{nk\vert n\in N \land k\in K\}</math><ref>이와 달리 ''H''와 ''K''가 단순히 ''G''의 부분군이기만 한 경우에는 집합 <math>HK=\{hk\vert h\in H \land k\in K\}</math>는 부분군조차 되지 못할 수도 있음에 유의하여야 한다.</ref>는 ''G''의 정규부분군이다. | ||
* ''N''이 [[부분군의 지표|지표(index)]]가 2<ref>좀 더 일반적으론, 지표가 “어떤 유한군의 위수를 나누는 가장 작은 소수”일 때</ref>인 ''G''의 부분군이면, ''N''은 ''G''의 정규부분군이다. | * ''N''이 [[부분군의 지표|지표(index)]]가 2<ref>좀 더 일반적으론, 지표가 “어떤 유한군의 위수를 나누는 가장 작은 소수”일 때</ref>인 ''G''의 부분군이면, ''N''은 ''G''의 정규부분군이다. | ||
* 함수 <math>f:G\to H</math>가 [[군 준동형사상]]이라고 하자. 그러면 ''f''의 [[핵 (수학)|핵]] <math>\ker f</math>는 ''G''의 정규부분군이다. | * 함수 <math>f:G\to H</math>가 [[군 준동형사상]]이라고 하자. 그러면 ''f''의 [[핵 (수학)|핵]] <math>\ker f</math>는 ''G''의 정규부분군이다.<ref>증명: 임의의 ''g''∈''G'' 및 ''x''∈ker ''f''에 대해 ''f''(''gxg''<sup>−1</sup>) = ''f''(''g'') ''f''(''x'') ''f''(''g''<sup>−1</sup>) = ''f''(''g'') ''f''(''g'')<sup>−1</sup> = ''e''<sub>''H''</sub>.</ref> | ||
== 같이 보기 == | == 같이 보기 == |
2015년 6월 10일 (수) 00:59 판
정의
군 G의 부분군을 N이라고 하자. 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ gN=Ng }[/math]
면 N을 G의 정규부분군(Normal subgroup)이라 한다. 이때 [math]\displaystyle{ gN,Ng }[/math]는 각각 N의 좌잉여류(left coset)와 우잉여류(right coset)를 나타낸다. 이 정의는 절대 임의의 [math]\displaystyle{ n\in N }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ gn=ng }[/math]임을 뜻하는 것이 아니다!
다음 명제는 서로 동치이다.
- N은 G의 정규부분군이다.
- [math]\displaystyle{ g^{-1}Na=\{g^{-1}ng\vert n\in N\} }[/math]으로 정의하면, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a^{-1}Na\subseteq N }[/math]이다.
- [math]\displaystyle{ gNg^{-1}=\{gng^{-1}\vert n\in N\} }[/math]으로 정의하면, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ aNa^{-1}\subseteq N }[/math]이다.
- 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g^{-1}Ng= N }[/math]이다.
- 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ gNg^{-1}= N }[/math]이다.
예시
- 아벨군의 경우에는 교환법칙이 성립하므로 모든 부분군이 정규부분군이다.
- [math]\displaystyle{ \operatorname {SL}(V)\trianglelefteq\operatorname {GL}(V) }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname {SO}(n)\trianglelefteq\operatorname {O}(n) }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname {SU}(n)\trianglelefteq\operatorname {U}(n) }[/math]
- [math]\displaystyle{ A_n \trianglelefteq S_n }[/math] [1]
성질
- 정규부분군의 정규부분군은 정규부분군이 아니다.[2]
- 그러나, [math]\displaystyle{ N\le H\le G }[/math]이고 [math]\displaystyle{ N\trianglelefteq G }[/math]이면 [math]\displaystyle{ N\trianglelefteq H }[/math]이다.[3]
- 정규부분군의 교집합은 정규부분군이다. 즉, N과 K가 G의 정규부분군이면, [math]\displaystyle{ N\cap K }[/math]는 G의 정규부분군이다.[4]
- N과 K가 G의 정규부분군이면, 집합 [math]\displaystyle{ NK=\{nk\vert n\in N \land k\in K\} }[/math][5]는 G의 정규부분군이다.
- N이 지표(index)가 2[6]인 G의 부분군이면, N은 G의 정규부분군이다.
- 함수 [math]\displaystyle{ f:G\to H }[/math]가 군 준동형사상이라고 하자. 그러면 f의 핵 [math]\displaystyle{ \ker f }[/math]는 G의 정규부분군이다.[7]
같이 보기
각주
- ↑ [math]\displaystyle{ n }[/math]이 1보다 클 때에는 지표가 2이기 때문이다.
- ↑ 예를 들어 {(12)(34)}⊴V4⊴A4이지만 {(12)(34)}가 A4의 정규부분군인 것은 아니다.
- ↑ 증명: 임의의 g∈G에 대해 gN=Ng이므로 임의의 g∈H에 대해서도 당연히 gN=Ng이다.
- ↑ 증명: 임의의 g∈G 및 x∈N∩K에 대해 gxg−1를 생각하면, 이는 N이 정규부분군이므로 N에 속하고, K가 정규부분군이므로 K에도 속한다. 따라서 gxg−1∈N∩K.
- ↑ 이와 달리 H와 K가 단순히 G의 부분군이기만 한 경우에는 집합 [math]\displaystyle{ HK=\{hk\vert h\in H \land k\in K\} }[/math]는 부분군조차 되지 못할 수도 있음에 유의하여야 한다.
- ↑ 좀 더 일반적으론, 지표가 “어떤 유한군의 위수를 나누는 가장 작은 소수”일 때
- ↑ 증명: 임의의 g∈G 및 x∈ker f에 대해 f(gxg−1) = f(g) f(x) f(g−1) = f(g) f(g)−1 = eH.