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: <math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}</math> | : <math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}</math> |
2015년 6월 5일 (금) 01:03 판
정의
이상적분으로 정의된 함수
- [math]\displaystyle{ \Gamma(x)=\begin{cases} \int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt,&x\gt 0\\ \dfrac{\Gamma(x+1)}{x}&x\lt 0\text{ and }x\not\in \mathbb{Z} \end{cases} }[/math]
를 감마함수(Gamma function)라고 한다.
성질
- [math]\displaystyle{ \Gamma(x+1)=x\Gamma(x) }[/math]
따라서 감마함수의 정의역을 자연수로 국한시키면 계승(팩토리얼)이 된다.
- [math]\displaystyle{ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin \pi x} }[/math]