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2016년 12월 3일 (토) 00:00 기준 최신판
정의[편집 | 원본 편집]
군 [math]\displaystyle{ G }[/math]와 그 부분군 [math]\displaystyle{ K }[/math], [math]\displaystyle{ a\in G }[/math]가 주어졌을 때
- [math]\displaystyle{ aK=\{ak:k\in K\} }[/math]
를 [math]\displaystyle{ K }[/math]의 좌잉여류(left coset)라고 하고,
- [math]\displaystyle{ Ka=\{ka:k\in K\} }[/math]
를 [math]\displaystyle{ K }[/math]의 우잉여류(right coset)라고 한다.
성질[편집 | 원본 편집]
- 부분군의 두 우잉여류는 같거나 서로소이다.
군 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 부분군 [math]\displaystyle{ K }[/math], 그리고 [math]\displaystyle{ a,b\in G }[/math]를 생각하자. [math]\displaystyle{ Ka \cap Kb \ne \emptyset }[/math]이면 [math]\displaystyle{ c\in Ka \cap Kb }[/math]인 [math]\displaystyle{ c }[/math]가 존재하므로 [math]\displaystyle{ c\in Ka }[/math]이고 [math]\displaystyle{ c\in Kb }[/math]이다. 즉 [math]\displaystyle{ c\equiv a\pmod K }[/math]이고 [math]\displaystyle{ c\equiv b\pmod K }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ a\equiv b\pmod K }[/math]이고, 따라서 [math]\displaystyle{ Ka=Kb }[/math]이다.
- 군은 자신의 부분군의 모든 우잉여류들의 합집합이다.
군을 [math]\displaystyle{ G }[/math]라 하고 그 부분군을 [math]\displaystyle{ K }[/math]라 하면, [math]\displaystyle{ G=\bigcup_{a\in G}Ka }[/math]임을 보이면 된다. 임의의 [math]\displaystyle{ c\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ c=ec\in Kc }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ c\in \bigcup_{a\in G}Ka }[/math]이다. 그러므로 [math]\displaystyle{ G\subseteq \bigcup_{a\in G}Ka }[/math]이다. 한편, [math]\displaystyle{ K }[/math]의 임의의 잉여류는 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 원소만 포함하기 때문에 [math]\displaystyle{ \bigcup_{a\in G}Ka \subseteq G }[/math]이다. 따라서 원하는 결과를 얻는다.