정의역 채색

정의역 채색(domain colouring)은 복소함수의 시각화를 위한 방법으로, 4 차원의 그래프를 2 차원의 평면에 옮기는 방법이다. 색환 그래프, 채색된 해석적 랜드스케이프(coloured analytic landscape), 한꼴 플로팅(conformal plot) 등과 함께 가장 많이 쓰이는 방법 중 하나이다.

진술

정의역 채색은 복소함수의 그래프(실수체에서 4 차원)를 정의역, 채도(hue), 명도(lightness)로 나타낸다. 색환 그래프와 다른 점은 명도를 등고선의 용도로 활용한다는 것밖에 없다. (Contour plot)

그리고 명도를 이용하는 방식에 대해서는 딱히 정해진 것이 없다. 양자화의 기준이 되는 함숫값(의 절댓값, 즉 [math]\displaystyle{ |f(z)| }[/math])을 갖는 점을 선으로 이어 놓은 것도 있고, 그 사이의 구간을 그라데이션으로 채워 놓은 것도 있다. 또한 그 양자화의 기준값 역시 정해져 있지 않지만, 대개 [math]\displaystyle{ n }[/math]이나 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math]을 기준으로 한다. ([math]\displaystyle{ n\in\mathbb Z }[/math])

채도 역시 정해진 것은 없지만, 대부분 색환의 것을 따른다. 즉, Arg(편각)이 0부터 2π까지 변할 때, 채도는 RGB 순, 더 정확하게는 Red, Yellow, Green, Cyan, Blue, Magenta 순으로 변한다. 즉 Red는 양의 실수, Cyan은 음의 실수를 뜻한다.

예시

아래의 domain colouring은 Gandhi Viswanathan's Blog의 Mathematica code를 이용하였다. 이는 주기적인 그라데이션으로 함숫값의 절댓값을 표현하며, 그 간격은 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math]이다. 또한 채색된 해석적 랜드스케이프, 한꼴 플로팅과 같이 보여주기로 한다.

복소함수의 시각화

함수	정의역 채색 Domain Colouring	해석적 랜드스케이프 Analytic landscape	한꼴 플로팅 Conformal plot
플로팅 영역	[-3, 3] × [-3, 3]	[-3, 3] × [-3, 3]	[-1, 1] × [-1, 1] → [-3, 3] × [-3, 3]
[math]\displaystyle{ f(z) = z }[/math]
[math]\displaystyle{ f(z) = \sin z }[/math]
[math]\displaystyle{ f(z) = \Gamma (z) }[/math]			[-.5, .5] × [-.5, .5] → [-10, 10] × [-10, 10]