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| = 순서쌍 =
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| [[분류:수학]] | |
| [[분류:집합론]]
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| '''순서쌍'''(順序-, ordered pair)은 두 [[대상]]을 순서를 고려하여 묶은 것을 말한다. [[집합론]]에서 흔히 <math>(a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}</math>으로 정의한다. 순서쌍은 2-tuple과도 같으며, 보통 <math>n</math>-tuple은 순서쌍을 이용하여 [[귀납적]]으로 정의된다.
| | *[[/1]] |
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| == 일반적인 정의 ==
| | *[[/2]] [[/2]] |
| 순서쌍을 정의하는 방법은 많지만, 그 정의들은 다음 성질을 만족해야 한다:
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| : <math> (a, b) = (c, d) \Longleftrightarrow a=c \wedge b=d.</math>
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| 즉, 순서쌍이 같으려면 그 좌표(coordinate)끼리 같아야 한다. 이 정의에 부합하는 정의 역시 (무한히) 만들어낼 수 있지만, 보통 다음의 [[카지미에시 쿠라토프스키]]에 의한 정의를 이용한다.
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| : <math>(a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}</math>.
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| 이 정의에서는 순서쌍 <math>p</math>의 첫 번째 좌표를 <math>\forall S \in p[a\in S]</math>인 <math>a</math>로 정의할 수 있다. 두 번째 좌표는 순서쌍에 속하는 두 집합에 공통으로 들어가는 대상이 아니므로 <math>\exists S \in p[b \in S] \wedge \forall S_1, S_2 \in p[S_1 \ne S_2 \rightarrow \neg(b\in S_1 \cap S_2)]</math>인 <math>b</math>로 정의할 수 있다.<ref><math>S_1 = S_2</math>이면 가정이 거짓이므로 첫 번째 좌표와 두 번째 좌표가 같다.</ref>
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| 이 정의를 이용하면 <math> (a, b) = (c, d) \Longleftrightarrow a=c \wedge b=d.</math>를 보일 수 있으며, 그 증명은 아래와 같다.
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| {{숨기기|증명|충분조건: <math>a = c \wedge b = d\rightarrow (a,b)=\{\{a\}, \{a, b\}\} = \{\{c\}, \{c, d\}\}=(c,d)</math>
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| 필요조건: 두 가지 경우를 생각하자: <math>a = b, \; a ≠ b.</math>
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| <math>a =b\leftrightarrow (a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}=\{\{a\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}\rightarrow \{c\}=\{c,d\}=\{a\}\rightarrow c=a=d=b.</math>
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| <math>a\ne b \leftrightarrow (a,b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}\leftrightarrow a\ne b \wedge (a=c \vee a \ne c).</math>
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| <math>a\ne b \wedge a \ne c\rightarrow\{a\}\ne \{c\}\wedge \{a\}\ne \{c,d\}\rightarrow (a,b)\ne (c,d)</math>이므로 <math>a=c\rightarrow b =d</math>이다.
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| }}
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| == 다른 정의 ==
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| === [[노버트 위너]]의 정의 ===
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| === [[펠릭스 하우스도르프]]의 정의 ===
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| === 쿠라토프스키 정의의 변형 ===
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| === [[앤서니 모스]]의 정의 ===
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| == Tuple ==
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| {{참조|Tuple}}
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| <math>\mathbf n</math>'''-tuple'''은 <math> n</math>개의 대상을 순서를 고려하여 나열한 것을 말한다. 이는 유한수열과도 같으며, 순서쌍을 이용하여 귀납적으로 정의된다:
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| : <math>(a_1, a_2, \cdots, a_n) := ((a_1, a_2, \cdots , a_{n-1}),a_n).</math>
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| 이와 일대일 대응인 정의로는 <math>(a_1, \cdots, a_n)=f:i \mapsto a_i = \{(i, a_i):i\in\{1, \cdots, n\}\}</math>가 있다.
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| == 카테시언 곱 ==
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| = 결합기하학 =
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| '''결합기하학'''(incidence geometry)은 [[결합기하학#결합구조|결합구조]]를 연구하는 학문이다. [[해석기하학]]과 달리 점, 선, 그리고 그 결합만을 생각한다.
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| == 결합구조 ==
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| Let <math>\mathscr P</math>, <math>\mathscr L</math>(<math>\mathscr P \cap \mathscr L = \emptyset</math>) and <math>\mathscr I\subseteq \mathscr P \times \mathscr L</math> be sets, we call
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| : <math>\sigma = (\mathscr P, \mathscr L, \mathscr I)</math>
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| a '''incidence structure''', or a '''geometric structure'''. If <math>\mathscr P</math> and <math>\mathscr L</math> are finite sets, we call <math>\sigma</math> a '''finite incidence structure'''.
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| For given <math>p, q\in\mathscr P</math>, if <math>\exists L \in \mathscr L \text{ s.t. } (p,L),(q,L)\in \mathscr I</math>, we say '''<math>p</math> and <math>q</math> are jointed''', and we say '''<math>L</math> is decided by <math>p</math> and <math>q</math>''' if there is only one line <math>L</math>(we call it the '''join''' <math>pq:=L</math>.) Similarly, given <math>L, M\in \mathscr L</math>, if <math>\exists p \in \mathscr P \text{ s.t. } (p,L),(p,M)\in \mathscr I</math>, we say '''<math>L</math> and <math>M</math> meet''', and we say '''<math>p</math> is decided by <math>L</math> and <math>M</math>''' if there is only one point <math>p</math>(we call it the '''intersection''' <math>p:=L\cap M</math>.) And also denote <math>[p(\in\mathscr P)\in L (\in \mathscr L)] := [(p, L) \in \mathscr I]</math> and omit <math>\mathscr I</math>.
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| == 평면 ==
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| We shall call incidence structures <math>\pi=(\mathscr P , \mathscr I)</math> satisfying following axioms '''planes''':
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| * <math>\forall p, q \in\mathscr P \exists ! L \in \mathscr L \text{ s.t. }p, q\in L,</math>
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| * <math>\forall L\in\mathscr L \exists p, q\in\mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. } p, q \in L.</math>
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| === 아핀 평면 ===
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| We call incidence structures satisfying following axioms '''affine planes''':
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| * <math>\exists L \in \mathscr L,</math>
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| * <math>\forall L \in \mathscr L \exists p, q\in \mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. }p,q\in L,</math>
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| * <math>\forall L \in \mathscr L \exists r\in\mathscr P \text{ s.t. }r \notin L,</math>
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| * <math>\forall p,q \in \mathscr P (p\ne q)\exists ! L=pq\in \mathscr L,</math>
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| * <math>\forall L \in \mathscr L \forall p (\notin L) \in \mathscr P \exists ! M \in \mathscr L \text{ s.t. } p \in M \wedge L \| M.</math> (<math>L \| M</math> means <math>\not \exists L \cap M</math>.)
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| And every affine plane is a plane.
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| === 실-아핀 평면 ===
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| We call incidence structures <math>\alpha_\mathbb R</math> satisfying following axioms '''real affine planes''':
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| * <math>\mathscr P \subseteq \mathbb R^2,</math>
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| * <math>L(\in \mathscr L) = \{(x,y)|ax+by+c=0 \wedge a, b, c\in\mathbb R \wedge \neg(a=0\wedge b=0) \},</math>
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| * <math>(x_0 , y_0) \in \{ (x,y)|ax+by+c = 0\} \Longleftrightarrow ax_0 + by_0 + c = 0.</math>
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| And every real affine plane is an affine plane.
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| === 사영 평면 ===
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| = 뉴턴의 운동 법칙 =
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| '''뉴턴의 운동 법칙'''(Newton's laws of motion)은 [[아이작 뉴턴]]에 의해 정립된 세 가지 [[물리]] 법칙이다.
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| == 역사 ==
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| == 제1 법칙: 관성의 법칙 ==
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| {{인용문2|외력이 없을 때 어떤 물체의 질량중심은 일정한 [[속도]] (또는 [[운동량]])을 가지고 운동한다.}}
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| 관성의 법칙을 만족하는 기준틀(좌표계)를 '''관성기준틀'''(관성좌표계, 관성계)라 부르고, 즉 이는 등속도 운동을 하는 기준틀을 말한다.
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| == 제2 법칙: 가속도의 법칙 ==
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| == 제3 법칙: 작용-반작용의 법칙 ==
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