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| {{학술 관련 정보}}
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| '''Fermat's theorem''' | | '''Fermat's theorem''' |
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| 페르마의 정리엔 소정리와 대정리(또는 마지막 정리) 두 가지가 있다.
| | [[피에르 드 페르마]]가 자기가 증명했다고 한 정리들로, 다음과 같이 있으나 이 중 가장 잘 알려진 것은 [[페르마의 마지막 정리]]. |
| | | *[[페르마의 마지막 정리]] <math>x^n+y^n \neq z^n</math>(<math>n\ge3</math>) |
| ==페르마의 소정리==
| | *[[페르마의 소정리]] |
| | | *[[페르마의 두 제곱수 정리]] |
| 밑에 있는 대정리에 기가 눌려서 그렇지 이쪽도 나름 유명한 정리이다. [[1640년]]에 처음으로 발표되었다. <s>근데 증명을 안 해 놓은 건 똑같다.</s> <s>아니 이 사람의 성격상 정리 해 놓고 공개 안 한 걸지도 모른다 [[카더라]].</s> 원고 형식의 증명은 [[1683년]]경 [[빌헬름 라이프니츠]]에 의해서, 출판 형식의 증명은 [[1736년]] [[레온하르트 오일러]]에 의해서 증명되었다.
| | *[[페르마의 다각수 정리]] |
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| 정리의 내용은 다음과 같다.
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| 소수 <math>p</math>와 양의 정수 <math>a</math>에 대해 <math>(a, p)=1</math> 이면 <math>a^{p-1}\equiv 1( \operatorname{mod } p)</math><ref>참고로 A-B가 N의 배수이면, 즉 A-B = Nk (k는 정수)이면 A≡B (mod N)라고 쓴다.</ref>
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| ==페르마의 마지막 정리==
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| 수학자 [[페이드 드 페르마]]의 정리. "3 이상 지수의 거듭제곱수는 같은 지수의 두 거듭제곱수의 합으로 나타낼 수 없다"는 정리다. 즉, a,b,c가 양의 정수이고, n이 3 이상의 정수일 때, 항상 <math> a^n +b^n \neq c^n </math>이다.
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| 하지만 페르마는 이 공식보다 더 유명한 주석을 남겼으니…
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| {{인용문|정렬=left|임의의 세제곱수는 다른 두 세제곱수의 합으로 표현될 수 없고, 임의의 네제곱수 역시 다른 두 네제곱수의 합으로 표현될 수 없으며, 일반적으로 3 이상의 지수를 가진 정수는 이와 동일한 지수를 가진 다른 두 수의 합으로 표현될 수 없다. 나는 이것을 경이로운 방법으로 증명하였으나, '''책의 여백이 충분하지 않아 옮기지는 않는다.'''|디오판토스의 《산법》<small>(1621)</small>의 여백}}
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| [[파일:Diophantus-II-8-Fermat.jpg|260픽셀|오른쪽|섬네일|8번 문제 밑에 Observatio domini Petri di Fermat로 달려 있는 주석. <s>[[만악의 근원]]</s>]]
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| {{ㅊ|본 편집자는 페르마의 정리를 경이로운 방법으로 서술하였으나, 항목의 여백이 충분하지 않아 옮기지는 않는다.}}
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| [[1995년]] 앤드루 와일즈 교수에 의해 {{ㅊ|400년 만에}}증명되었다.{{ㅊ|풀이 과정이 다른 의미로 경이롭다}}<ref>[[위키백과:페르마의 마지막 정리]]</ref> | |
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| ===역사===
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| ====<math>n=4</math>일 때의 증명====
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| 페르마 자신은 <math>n=4</math>에 대한 증명을 내놓았다. <math>x^4+y^4=z^4</math>을 만족하는 정수해가 없음을 증명하려 페르마는 정수해가 있다는 가정을 한 후 여기서 생기는 논리적 모순을 찾았다. 개략적으로 설명하면, <math>x^4+y^4=z^4</math>을 만족하는 정수가 있다 가정했으니 그 정수해를 <math>x=X_1, y=Y_1, z=Z_1</math>로 놓는다. 이 세개의 정수해, 즉 <math>X_1, Y_1, Z_1</math>의 성질을 잘 살펴보면 기존의 방정식을 만족하면서 이보다 작은 값을 갖는 또다른 정수해, 즉 <math>X_2, Y_2, Z_2</math>가 반드시 존재해야 함을 증명할 수 있다. <s>이에 대한 자세한 수학적 과정은 따분할 수 있으므로 [[자세한 설명은 생략한다|생략하자]]</s> 또 새로 얻은 정수해에 같은 논리를 적용하면 이보다 작은 정수해, 즉 <math>X_3, Y_3, Z_3</math>이 또 존재해야 하며 이는 수없이 반복된다.
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| 이 과정은 이론상 무한히 반복될 수 있으므로 무한히 작은 정수해를 구할 수 있다는 결론이 내려진다. 하지만 <math>x, y, z</math>는 정수이다. 무한히 작은 정수가 존재할 수 없다. 그러니 이 반복과정은 언젠가 끝나야 한다. 근데 이 논리의 결과는 이 과정이 무한히 반복될 수 있다 했으니 이는 모순이다. 모순이 나온 이유는 단 한가지. 바로 <math>x^4+y^4=z^4</math>를 만족하는 정수해, 즉 <math>X_1, Y_1, Z_1</math>는 존재하지 않는다는 것이다. 이렇게 페르마는 <math>n=4</math>일 때 정수해가 존재하지 않는다는 것을 증명했다. 하지만 페르마는 분명히 '''3 이상의 모든 <math>n</math>값에 대해 증명을 했다 주장했다.''' <s>여백이 부족하다며</s>
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| ====오일러의 <math>n=3</math>일 때의 증명====
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| 페르마는 <math>n</math>이 3 이상일 때 성립하지 않는다 했으므로 오일러는 <math>n=3</math>일 때의 증명을 먼저 증명하려 했다. 페르마가 증명한 <math>n=4</math>일 때의 경우를 <math>n=3</math>인 경우에 적용시키기 위해 오일러는 [[허수]]라는 개념을 사용했다. 오일러 이전에 다른 <math>n</math>값의 증명을 <math>n=4</math>일 때 페르마가 사용한 무한 반복성 귀류법으로 해결해보려 했지만 <math>n=4</math>때는 전혀 나타나지 않은 논리적인 모순이 생겼다. 그런데 오일러는 허수 <math>i</math>를 사용해 논리적 허점을 보완함에 성공했고 무한 반복성 귀류법으로 <math>n=3</math>의 경우의 증명을 해냈다. '''하지만''' <math>n</math>'''이 5 이상인 경우에는 이것도 전혀 먹혀들지 못했다. '''
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| ====프레이의 [[타원곡선]]====
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| Frey는 페르마의 마지막 정리가 거짓이라면 <math>y^2=x(x-a^p)(x+b^p)</math>라는 타원곡선이 "모듈러리티 가설"을 위반할 것이라는 추측을 내놓는다. 이 추측은 켄 리벳에 의해 완전히 증명되게 된다. 따라서 결과적으로 대우명제를 고려해보면, 모듈러리티 가설을 증명하는 것 만으로 페르마의 마지막 정리가 증명되는 것을 알게 된다.
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| ====앤드류 와일즈====
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| 앤드류 와일즈는 semistable 타원곡선에 대해 모듈러리티 가설을 증명하여 페르마의 마지막 정리를 증명한다.
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| == 유사 사례 ==
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| 인터넷 상에서 자주 사용되는 것으로 "[[더 이상의 자세한 설명은 생략한다]]"가 [[근성체|있다?]] {{ㅊ|우와아앙?}}
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| {{주석}} | | {{동음이의}} |
| [[분류:정수론]] | | [[분류:정수론]] |
| [[분류:수학 정리]] | | [[분류:수학 정리]] |
