행렬 노름: 두 판 사이의 차이

2015년 7월 29일 (수) 02:22 판

행렬 노름(Matrix norm)은 노름을 행렬로 확장한 개념이다.

정의

[math]\displaystyle{ M_n }[/math]을 복소수 성분을 가지는 모든 n차 정사각행렬을 원소로 가지는 벡터공간이라 하자. 함수 [math]\displaystyle{ \left\|\cdot\right\|:M_n\to\mathbb{R} }[/math]이 모든 [math]\displaystyle{ A,B\in M_n }[/math]에 대해

(1) [math]\displaystyle{ \left\|A\right\| \ge 0 }[/math]

(1a) [math]\displaystyle{ \left\|A\right\| =0 \Leftrightarrow A=0 }[/math]

(2) [math]\displaystyle{ \left\|cA\right\|=\left|c\right|\left\|A\right\| }[/math] (단, [math]\displaystyle{ c\in \mathbb{C} }[/math])

(3) [math]\displaystyle{ \left\|A+B\right\|\le\left\|A\right\|+\left\|B\right\| }[/math]

(4) [math]\displaystyle{ \left\|AB\right\|\le\left\|A\right\|\left\|B\right\| }[/math]

를 만족하면 행렬 놈이라 한다.

예시

다음은 행렬 노름이다.

[math]\displaystyle{ \left\|A\right\|_1=\sum_{i,j=1}^n\left|a_{ij}\right| }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\|A\right\|_2=\left(\sum_{i,j=1}^n \left|a_{ij}\right|^2\right)^\frac{1}{2} }[/math]

다음은 행렬 노름이 아니다.

[math]\displaystyle{ \left\|A\right\|_{\infty}=\max_{1\le i,j\le n}\left|a_{ij}\right| }[/math]

참고문헌

Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6

@@ 5번째 줄: / 5번째 줄: @@
 == 정의 ==
-<math>M_n</math>을 [[복소수]] 성분을 가지는 모든 ''n''차 정사각행렬을 원소로 가지는 [[벡터공간]]이라 하자. [[함수 (수학)|함수]] <math>\|\cdot\|:M_n\to\mathbb{R}</math>이 모든 <math>A,B\in M_n</math>에 대해
+<math>M_n</math>을 [[복소수]] 성분을 가지는 모든 ''n''차 정사각행렬을 원소로 가지는 [[벡터공간]]이라 하자. [[함수 (수학)|함수]] <math>\left\|\cdot\right\|:M_n\to\mathbb{R}</math>이 모든 <math>A,B\in M_n</math>에 대해
-: (1) <math>\|A\| \ge 0</math>
+: (1) <math>\left\|A\right\| \ge 0</math>
-: (1a) <math>\|A\| =0 \Leftrightarrow A=0</math>
+: (1a) <math>\left\|A\right\| =0 \Leftrightarrow A=0</math>
-: (2) <math>\|cA\|=|c|\|A\|</math> (단, <math>c\in \mathbb{C}</math>)
+: (2) <math>\left\|cA\right\|=\left|c\right|\left\|A\right\|</math> (단, <math>c\in \mathbb{C}</math>)
-: (3) <math>\|A+B\|\le\|A\|+\|B\|</math>
+: (3) <math>\left\|A+B\right\|\le\left\|A\right\|+\left\|B\right\|</math>
-: (4) <math>\|AB\|\le\|A\|\|B\|</math>
+: (4) <math>\left\|AB\right\|\le\left\|A\right\|\left\|B\right\|</math>
 를 만족하면 '''행렬 놈'''이라 한다.
 == 예시 ==
 다음은 행렬 노름이다.
-: <math>\|A\|_1=\sum_{i,j=1}^n|a_{ij}|</math>
+: <math>\left\|A\right\|_1=\sum_{i,j=1}^n\left|a_{ij}\right|</math>
-: <math>\|A\|_2=\left(\sum_{i,j=1}^n |a_{ij}|^2\right)^\frac{1}{2}</math>
+: <math>\left\|A\right\|_2=\left(\sum_{i,j=1}^n \left|a_{ij}\right|^2\right)^\frac{1}{2}</math>
 다음은 행렬 노름이 아니다.
-: <math>\|A\|_{\infty}=\max_{1\le i,j\le n}|a_{ij}|</math>
+: <math>\left\|A\right\|_{\infty}=\max_{1\le i,j\le n}\left|a_{ij}\right|</math>
 == 참고문헌 ==
 * Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
 [[분류:선형대수학]]