농도 (수학)

정의

농도(Cardinality)는 집합론에서 정의되는 개념이다. 만약 유한집합이라면 "농도는 집합의 원소의 개수입니다!"라고 외치고 싶겠지만 잠시만 참자. 농도를 정의할 때는 다른 개념과 달리 "농도는 ...이다"라고 정의하지 않는다. 아래를 보자.

• 집합 A와 B가 주어졌을 때, 일대일 대응 [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math]가 존재하면 A와 B의 농도는 같다 또는 A와 B는 동등하다(equipotent)고 하고, [math]\displaystyle{ |A|=|B| }[/math]로 나타낸다.
• 집합 A와 B가 주어졌을 때, 일대일 함수 [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math]가 존재하면 A의 농도는 B의 농도와 같거나 그보다 작다고 하고, [math]\displaystyle{ |A|\le |B| }[/math]로 나타낸다.
• 집합 A와 B가 주어졌을 때, 일대일 함수 [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math]가 존재하지만 일대일 대응 [math]\displaystyle{ g:A\to B }[/math]가 존재하지 않으면 A의 농도는 B보다 작다고 하고, [math]\displaystyle{ |A|\lt |B| }[/math]로 나타낸다.

이 정의가 이해되지 않는가? 간절히 기도하라. 우주가 도와줄 것이다.

성질

임의의 집합 A,B,C에 대해

1. [math]\displaystyle{ |A|=|A| }[/math]
2. [math]\displaystyle{ |A|=|B| }[/math]이면 [math]\displaystyle{ |B|=|A| }[/math]이다.
3. [math]\displaystyle{ |A|=|B| }[/math]이고 [math]\displaystyle{ |B|=|C| }[/math]이면 [math]\displaystyle{ |A|=|C| }[/math]이다.

이고 임의의 집합 A,B,C에 대해

1. [math]\displaystyle{ |A|\le |A| }[/math]
2. [math]\displaystyle{ |A|\le |B| }[/math]이고 [math]\displaystyle{ |B|\le |A| }[/math]이면 [math]\displaystyle{ |A|=|B| }[/math]이다. (칸토어-베른슈타인 정리)
3. [math]\displaystyle{ |A|\le |B| }[/math]이고 [math]\displaystyle{ |B|\le |C| }[/math]이면 [math]\displaystyle{ |A|\le |C| }[/math]이다.

즉, [math]\displaystyle{ =,\le }[/math]는 각각 동치관계, 반순서관계이다.

유한집합과 무한집합

만약 집합 A가 자연수 n과 동등하다면, A를 유한집합(finite set)이라 한다. 이때 A가 n개의 원소(element)를 가진다고 하고 [math]\displaystyle{ |S|=n }[/math]으로 표기한다.

만약 집합 A와 B가 유한집합이라면, [math]\displaystyle{ A\cup B }[/math]도 유한집합이며 [math]\displaystyle{ |A\cup B|\le |A|+|B| }[/math]이다. A와 B가 서로소라면, [math]\displaystyle{ |A\cup B|= |A|+|B| }[/math]이다.

A가 유한집합이 아니라면 무한집합(infinite set)이라고 한다. A가 무한집합이면 임의의 [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ |A| \gt n }[/math]이다.