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* 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 <math>gNg^{-1}= N</math>이다. | * 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 <math>gNg^{-1}= N</math>이다. | ||
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* 아벨군의 경우에는 교환법칙이 성립하므로 모든 부분군이 정규부분군이다. | |||
* <math>\operatorname {SL}(V)\trianglelefteq\operatorname {GL}(V)</math>, <math>\operatorname {SO}(n)\trianglelefteq\operatorname {O}(n)</math>, <math>\operatorname {SU}(n)\trianglelefteq\operatorname {U}(n)</math> | |||
* <math>A_n \trianglelefteq S_n</math> <ref><math>n</math>이 1보다 클 때에는 지표가 2이기 때문이다.</ref> | |||
== 성질 == | == 성질 == | ||
* ''N''과 ''K''가 ''G''의 정규부분군이면, <math>N\cap K</math>는 ''G''의 정규부분군이다. | * 정규부분군의 정규부분군은 정규부분군이 '''아니다'''. | ||
* ''N''과 ''K''가 ''G''의 정규부분군이면, 집합 <math>NK=\{nk\vert n\in N | ** 그러나, <math>N\le H\le G</math>이고 <math>N\trianglelefteq G</math>이면 <math>N\trianglelefteq H</math>이다. | ||
* ''N''이 [[부분군의 지표|지표]] | * 정규부분군의 교집합은 정규부분군이다. 즉, ''N''과 ''K''가 ''G''의 정규부분군이면, <math>N\cap K</math>는 ''G''의 정규부분군이다. | ||
* ''N''과 ''K''가 ''G''의 정규부분군이면, 집합 <math>NK=\{nk\vert n\in N \land k\in K\}</math><ref>이와 달리 ''H''와 ''K''가 단순히 ''G''의 부분군이기만 한 경우에는 집합 <math>HK=\{hk\vert h\in H \land k\in K\}</math>는 부분군조차 되지 못할 수도 있음에 유의하여야 한다.</ref>는 ''G''의 정규부분군이다. | |||
* ''N''이 [[부분군의 지표|지표(index)]]가 2<ref>좀 더 일반적으론, 지표가 “어떤 유한군의 위수를 나누는 가장 작은 소수”일 때</ref>인 ''G''의 부분군이면, ''N''은 ''G''의 정규부분군이다. | |||
* 함수 <math>f:G\to H</math>가 [[군 준동형사상]]이라고 하자. 그러면 ''f''의 [[핵 (수학)|핵]] <math>\ker f</math>는 ''G''의 정규부분군이다. | * 함수 <math>f:G\to H</math>가 [[군 준동형사상]]이라고 하자. 그러면 ''f''의 [[핵 (수학)|핵]] <math>\ker f</math>는 ''G''의 정규부분군이다. | ||
2015년 6월 8일 (월) 15:53 판
정의
군 G의 부분군을 N이라고 하자. 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ gN=Ng }[/math]
면 N을 G의 정규부분군(Normal subgroup)이라 한다. 이때 [math]\displaystyle{ gN,Ng }[/math]는 각각 N의 좌잉여류(left coset)와 우잉여류(right coset)를 나타낸다. 이 정의는 절대 임의의 [math]\displaystyle{ n\in N }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ gn=ng }[/math]임을 뜻하는 것이 아니다!
다음 명제는 서로 동치이다.
- N은 G의 정규부분군이다.
- [math]\displaystyle{ g^{-1}Na=\{g^{-1}ng\vert n\in N\} }[/math]으로 정의하면, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a^{-1}Na\subseteq N }[/math]이다.
- [math]\displaystyle{ gNg^{-1}=\{gng^{-1}\vert n\in N\} }[/math]으로 정의하면, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ aNa^{-1}\subseteq N }[/math]이다.
- 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g^{-1}Ng= N }[/math]이다.
- 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ gNg^{-1}= N }[/math]이다.
예시
- 아벨군의 경우에는 교환법칙이 성립하므로 모든 부분군이 정규부분군이다.
- [math]\displaystyle{ \operatorname {SL}(V)\trianglelefteq\operatorname {GL}(V) }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname {SO}(n)\trianglelefteq\operatorname {O}(n) }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname {SU}(n)\trianglelefteq\operatorname {U}(n) }[/math]
- [math]\displaystyle{ A_n \trianglelefteq S_n }[/math] [1]
성질
- 정규부분군의 정규부분군은 정규부분군이 아니다.
- 그러나, [math]\displaystyle{ N\le H\le G }[/math]이고 [math]\displaystyle{ N\trianglelefteq G }[/math]이면 [math]\displaystyle{ N\trianglelefteq H }[/math]이다.
- 정규부분군의 교집합은 정규부분군이다. 즉, N과 K가 G의 정규부분군이면, [math]\displaystyle{ N\cap K }[/math]는 G의 정규부분군이다.
- N과 K가 G의 정규부분군이면, 집합 [math]\displaystyle{ NK=\{nk\vert n\in N \land k\in K\} }[/math][2]는 G의 정규부분군이다.
- N이 지표(index)가 2[3]인 G의 부분군이면, N은 G의 정규부분군이다.
- 함수 [math]\displaystyle{ f:G\to H }[/math]가 군 준동형사상이라고 하자. 그러면 f의 핵 [math]\displaystyle{ \ker f }[/math]는 G의 정규부분군이다.