잔글편집 요약 없음 |
(대한수학회에 successor의 번역이 없어서 임의로 번역. 이건 시험공부가 아닙니다. 시험공부 하기 싫어요) |
||
| 19번째 줄: | 19번째 줄: | ||
''A''와 ''B''를 공집합이라고 가정하자. 그러면 ''A''의 임의의 원소는 ''B''의 원소이며, 마찬가지로 ''B''의 임의의 원소는 ''A''의 원소임을 안다. (뭐?)<ref>실제로는 무의미한 참(vacaously true)인 문장이기 때문이다.</ref> 따라서 확장공리에 의해 ''A''=''B''이다. | ''A''와 ''B''를 공집합이라고 가정하자. 그러면 ''A''의 임의의 원소는 ''B''의 원소이며, 마찬가지로 ''B''의 임의의 원소는 ''A''의 원소임을 안다. (뭐?)<ref>실제로는 무의미한 참(vacaously true)인 문장이기 때문이다.</ref> 따라서 확장공리에 의해 ''A''=''B''이다. | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" width="100%" | ||
|+ 공집합이 유일함을 보이는 형식적 증명 | |+ 공집합이 유일함을 보이는 형식적 증명 | ||
! 번호 | ! 번호 | ||
| 69번째 줄: | 69번째 줄: | ||
| (10)과 (11)에서 Modus ponens | | (10)과 (11)에서 Modus ponens | ||
|} | |} | ||
== 자연수 구성 == | |||
공집합은 유일하다는 성질로 인해 [[자연수]]를 구성하는 데 사용되기도 한다. 예를 들어, | |||
: <math>\begin{align} | |||
0&=\emptyset\\ | |||
1&=\{\emptyset\}\\ | |||
2&=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\\ | |||
3&=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}\\ | |||
4&=\{\emptyset,\{\emptyset\}\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\},\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}\}\\ | |||
&\cdots | |||
\end{align}</math> | |||
로 정의한다. 그러면 | |||
: <math>\begin{align} | |||
1&=0\cup \{0\}\\ | |||
2&=1\cup \{1\}\\ | |||
3&=2\cup \{2\}\\ | |||
4&=3\cup \{3\}\\ | |||
&\cdots | |||
\end{align}</math> | |||
이므로, ''x''의 계승자(successor) <math>x+1</math>을<ref>이때 + 기호는 절대 덧셈을 뜻하는 것이 아니다! 자연수의 덧셈을 정의하기 전까지는...</ref> | |||
: <math>x+1=x\cup \{x\}</math> | |||
로 정의하자.{{ㅊ|자연수의 자리를 계승하는 중입니다.}} 집합 ''I''가 다음 조건 | |||
* <math>0\in I</math> | |||
* <math>x\in I</math>이면 <math>x+1\in I</math>이다. | |||
을 만족하면 ''I''를 귀납적 집합(Inductive set)이라고 한다. 그리고 임의의 귀납적 집합의 원소인 원소들의 집합을 자연수의 집합 <math>\mathbb{N}</math>이라고 하고, 자연수의 집합의 원소를 자연수라고 한다. | |||
== 성질 == | == 성질 == | ||
2015년 6월 8일 (월) 02:18 판
정의
원소를 가지지 않는 집합을 공집합(empty set)이라고 한다. [math]\displaystyle{ \emptyset }[/math]으로 나타낸다.
예시
- 방정식 [math]\displaystyle{ x^2+1=0 }[/math]의 실근의 집합
- [math]\displaystyle{ \{(x,y,z)\vert x^n+y^n=z^n,x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, z\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N},n\ge 3\} }[/math] (페르마의 마지막 정리)
애인이 있는 위키러들의 집합
존재성과 유일성
체르멜로-프렝켈 집합론에서는 존재공리(The axiom of existence)[1]
- [math]\displaystyle{ \exists x \forall y[\neg(y\in x)] }[/math]
에 의해 공집합의 존재성을 보장받는다. 확장공리(The axiom of extensionality)
- [math]\displaystyle{ \forall p \forall q[\forall x(x\in p \Leftrightarrow x\in q)\Rightarrow p=q] }[/math]
에 의해 공집합이 유일함을 증명할 수 있다.
A와 B를 공집합이라고 가정하자. 그러면 A의 임의의 원소는 B의 원소이며, 마찬가지로 B의 임의의 원소는 A의 원소임을 안다. (뭐?)[2] 따라서 확장공리에 의해 A=B이다.
| 번호 | 식 | 정당화 |
|---|---|---|
| 1 | [math]\displaystyle{ \forall y[\neg(y\in A)] }[/math] | 가설: A는 공집합. |
| 2 | [math]\displaystyle{ \forall y[\neg(y\in B)] }[/math] | 가설: B는 공집합. |
| 3 | [math]\displaystyle{ \forall p \forall q[\forall x(x\in p \Leftrightarrow x\in q)\Rightarrow p=q] }[/math] | 확장공리 |
| 4 | [math]\displaystyle{ \neg(a\in A) }[/math] | (1)에서 Universal instantiation |
| 5 | [math]\displaystyle{ \neg(a\in B) }[/math] | (2)에서 Universal instantiation |
| 6 | [math]\displaystyle{ a\in A\Rightarrow a\in B }[/math] | (4)에서 Negation introduction |
| 7 | [math]\displaystyle{ a\in B\Rightarrow a\in A }[/math] | (5)에서 Negation introduction |
| 8 | [math]\displaystyle{ a\in A\Leftrightarrow a\in B }[/math] | (6)과 (7)에서 Biconditional introduction |
| 9 | [math]\displaystyle{ \forall x[(x\in A)\Leftrightarrow (x\in B)] }[/math] | (8)에서 Universal generalization |
| 10 | [math]\displaystyle{ \forall x[(x\in A\Leftrightarrow x\in B)]\Rightarrow A=B }[/math] | (3)에서 Universal instantiation |
| 11 | [math]\displaystyle{ A=B }[/math] | (10)과 (11)에서 Modus ponens |
자연수 구성
공집합은 유일하다는 성질로 인해 자연수를 구성하는 데 사용되기도 한다. 예를 들어,
- [math]\displaystyle{ \begin{align} 0&=\emptyset\\ 1&=\{\emptyset\}\\ 2&=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\\ 3&=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}\\ 4&=\{\emptyset,\{\emptyset\}\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\},\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}\}\\ &\cdots \end{align} }[/math]
로 정의한다. 그러면
- [math]\displaystyle{ \begin{align} 1&=0\cup \{0\}\\ 2&=1\cup \{1\}\\ 3&=2\cup \{2\}\\ 4&=3\cup \{3\}\\ &\cdots \end{align} }[/math]
이므로, x의 계승자(successor) [math]\displaystyle{ x+1 }[/math]을[3]
- [math]\displaystyle{ x+1=x\cup \{x\} }[/math]
로 정의하자.자연수의 자리를 계승하는 중입니다. 집합 I가 다음 조건
- [math]\displaystyle{ 0\in I }[/math]
- [math]\displaystyle{ x\in I }[/math]이면 [math]\displaystyle{ x+1\in I }[/math]이다.
을 만족하면 I를 귀납적 집합(Inductive set)이라고 한다. 그리고 임의의 귀납적 집합의 원소인 원소들의 집합을 자연수의 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]이라고 하고, 자연수의 집합의 원소를 자연수라고 한다.