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== 존재 조건과 유일성 == | == 존재 조건과 유일성 == | ||
* (존재 조건) 함수 <math>f:A\to B | * (존재 조건) 함수 <math>f:A\to B</math>가 [[일대일 대응]]인 것은 <math>f</math>의 역함수가 존재한다는 것과 동치이다. | ||
<math>(\Longrightarrow) | <math>(\Longrightarrow)</math> <math>f</math>가 일대일대응이라고 가정하자. 그리고 <math>f</math>의 역관계를 <math>g</math>라고 하자. <math>B</math>의 임의의 원소 <math>b</math>에 대해 <math>f</math>가 [[위로의 함수]]이므로 <math>(a,b)\in f</math>인 <math>a\in A</math>가 존재한다. 그러면 역관계의 정의에 의해 <math>(b,a)\in g</math>이다. 즉 임의의 <math>b\in B</math>에 대해 <math>(b,a)\in g</math>인 <math>a\in A</math>가 존재한다고 말할 수 있다. | ||
이제 <math>A | 이제 <math>A</math>의 임의의 원소 <math>a_1,a_2</math>에 대해 <math>(b,a_1)\in g, (b,a_2)\in g</math>라고 가정하자. 그러면 <math>(a_1,b)\in f</math>이고 <math>(a_2,b)\in f</math>이다. 그런데 <math>f</math>가 [[일대일 함수]]이므로 <math>a_1=a_2</math>이다. | ||
따라서 <math>g | 따라서 <math>g</math>는 함수이므로 <math>f</math>의 역함수는 존재한다. | ||
<math>(\Longleftarrow) | <math>(\Longleftarrow)</math> <math>f</math>의 역함수가 존재한다고 가정하고 <math>g</math>라고 표기하자. <math>(x_1,y)\in f,(x_2,y)\in f</math>이면 <math>(y,x_1)\in g,(y,x_2)\in g</math>이다. <math>g</math>가 함수이므로 <math>x_1=x_2</math>이다. 따라서 <math>f</math>는 일대일 함수이다. 또한 임의의 <math>b\in B</math>에 대해 <math>g</math>가 함수이므로 <math>(b,a)\in g</math>인 <math>a\in A</math>가 존재하고, 따라서 임의의 <math>b\in B</math>에 대해 <math>(a,b)\in f</math>인 <math>a\in A</math>가 존재한다고 말할 수 있다. 따라서 <math>f</math>는 위로의 함수이다. | ||
<math>f | <math>f</math>가 일대일 함수이고 위로의 함수이므로, <math>f</math>는 일대일 대응이다. | ||
* ([[유일성]]) 함수 <math>f | * ([[유일성]]) 함수 <math>f</math>의 역함수가 존재한다면 유일하다. | ||
함수 <math>f | 함수 <math>f</math>의 두 역함수를 <math>g_1,g_2</math>라고 하자. <math>i_A:A\to A,i_B=B\to B</math>를 [[항등함수]]라고 하면 | ||
: <math>g_1=g_1 \circ i_{B}=g_1 \circ ( f \circ g_2) = (g_1 \circ f)\circ g_2 = i_A \circ g_2 = g_2</math> | : <math>g_1=g_1 \circ i_{B}=g_1 \circ ( f \circ g_2) = (g_1 \circ f)\circ g_2 = i_A \circ g_2 = g_2</math> | ||
이다. | 이다. |
2021년 5월 11일 (화) 08:38 기준 최신판
정의[편집 | 원본 편집]
함수 [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math]에 대해 역관계 [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math]이 함수라면, [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math]을 역함수(inverse function)라고 한다.
존재 조건과 유일성[편집 | 원본 편집]
- (존재 조건) 함수 [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math]가 일대일 대응인 것은 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 역함수가 존재한다는 것과 동치이다.
[math]\displaystyle{ (\Longrightarrow) }[/math] [math]\displaystyle{ f }[/math]가 일대일대응이라고 가정하자. 그리고 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 역관계를 [math]\displaystyle{ g }[/math]라고 하자. [math]\displaystyle{ B }[/math]의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ b }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 위로의 함수이므로 [math]\displaystyle{ (a,b)\in f }[/math]인 [math]\displaystyle{ a\in A }[/math]가 존재한다. 그러면 역관계의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ (b,a)\in g }[/math]이다. 즉 임의의 [math]\displaystyle{ b\in B }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ (b,a)\in g }[/math]인 [math]\displaystyle{ a\in A }[/math]가 존재한다고 말할 수 있다.
이제 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ a_1,a_2 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ (b,a_1)\in g, (b,a_2)\in g }[/math]라고 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ (a_1,b)\in f }[/math]이고 [math]\displaystyle{ (a_2,b)\in f }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 일대일 함수이므로 [math]\displaystyle{ a_1=a_2 }[/math]이다.
따라서 [math]\displaystyle{ g }[/math]는 함수이므로 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 역함수는 존재한다.
[math]\displaystyle{ (\Longleftarrow) }[/math] [math]\displaystyle{ f }[/math]의 역함수가 존재한다고 가정하고 [math]\displaystyle{ g }[/math]라고 표기하자. [math]\displaystyle{ (x_1,y)\in f,(x_2,y)\in f }[/math]이면 [math]\displaystyle{ (y,x_1)\in g,(y,x_2)\in g }[/math]이다. [math]\displaystyle{ g }[/math]가 함수이므로 [math]\displaystyle{ x_1=x_2 }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 일대일 함수이다. 또한 임의의 [math]\displaystyle{ b\in B }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g }[/math]가 함수이므로 [math]\displaystyle{ (b,a)\in g }[/math]인 [math]\displaystyle{ a\in A }[/math]가 존재하고, 따라서 임의의 [math]\displaystyle{ b\in B }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ (a,b)\in f }[/math]인 [math]\displaystyle{ a\in A }[/math]가 존재한다고 말할 수 있다. 따라서 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 위로의 함수이다.
[math]\displaystyle{ f }[/math]가 일대일 함수이고 위로의 함수이므로, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 일대일 대응이다.
- (유일성) 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 역함수가 존재한다면 유일하다.
함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 두 역함수를 [math]\displaystyle{ g_1,g_2 }[/math]라고 하자. [math]\displaystyle{ i_A:A\to A,i_B=B\to B }[/math]를 항등함수라고 하면
- [math]\displaystyle{ g_1=g_1 \circ i_{B}=g_1 \circ ( f \circ g_2) = (g_1 \circ f)\circ g_2 = i_A \circ g_2 = g_2 }[/math]
이다.
예시[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} }[/math]이 [math]\displaystyle{ f(x)=2x }[/math]로 정의되었을 때, [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)=\frac{1}{2}x }[/math]
- [math]\displaystyle{ f: A \to B }[/math]가 단지 일대일(one‐to‐one)인 경우, 공역을 치역으로 한정한 함수 [math]\displaystyle{ f: A \to f\left(A\right) }[/math]는 일대일대응이고, 이는 역함수 [math]\displaystyle{ f^{-1}|_{f\left(A\right)} }[/math]를 가진다.