3대 작도 불가능 문제 편집하기

'''3대 작도 불가능 문제'''는 고대 그리스 때부터 제기된 [[작도]] 문제이며, 무려 2000년 이상이 걸려서 풀렸다! 세 질문은 다음과 같다:
* 주어진 정육면체의 두 배의 부피를 갖는 정육면체의 한 변을 작도할 수 있는가? 즉, <math>\sqrt[3] 2</math>가 작도 가능한 수인가?
* 주어진 원과 같은 넓이를 갖는 정사각형을 작도할 수 있는가? 즉 <math>\sqrt \pi</math>가 작도 가능한 수인가?
* 임의의 각을 삼등분할 수 있는가? 즉 임의의 각 <math>\alpha</math>에 대해, <math>\cos \alpha</math> (또는 <math>\sin \alpha</math>)가 작도 가능한 수인가?
답은 모두 '''NO'''이다. 증명은 field theory 하나만 있으면 발로도 풀 수 있을 정도로 쉽다. 물론 그 전 과정을 생각해 내는 게 매우 어렵기는 하지만. 이것이 field theory라는 'tool'의 힘이라고 할 수 이다.

이 문제는 [[유사수학자]]들이 매우 좋아한다. 이들은 [[0.999...=1]]과 더불어 이 세 문제를 수학계의 영원한 떡밥으로 여겨 자신이 위의 셋 중 하나를 '가능하다'고 증명했다고 주장한다. 물론, 당연히 틀렸다. 이런 사람들은 상대해 주지 않고 가는 게 최선의 방법이다.

== 작도 가능한 수 ==
실수 <math>\alpha</math>에 대하여, <math>|\alpha|</math>를 길이로 가지는 선분을 작도할 수 있으면 <math>\alpha</math>를 '''작도 가능한 수'''(constructible number)라고 한다.

그러면 작도 가능한 수의 집합은 무엇일까? 어떤 수만이 작도 가능할까? 일단 다음 두 성질을 알 수 있다.
* 모든 유리수는 작도할 수 있다. 더 나아가, 작도 가능한 수들의 사칙연산은 모두 작도 가능하다.
*: ''Proof''. 덧셈과 뺄셈은 너무 간단하고, 곱셈과 나눗셈은 다음 그림에서 쉽게 증명된다.
*: [[파일:Constructing prod and quot.png|500px]]
*: 따라서 작도 가능한 수의 모임은 <math>\mathbb Q</math>를 포함하는 <math>\mathbb R</math>의 subfield가 된다.
* 작도 가능한 수의 제곱근도 작도 가능하다.
*: [[파일:Constructing sqrt.png|500px]]
그런데, 처음 우리가 작도 가능함을 알고 있는 수는 단 하나, '''1'''뿐이다. 1만이 주어지며, 다른 것들은 1에서 작도한다. 1에서 출발하여, 모든 유리수를 작도할 수 있고, 또한 어떤 유리수의 제곱근을 작도할 수 있고, 유리수와 그 제곱근의 합과 곱을 작도할 수 있고, ... 이 과정을 ''반복''한다. 즉, 우리가 작도할 수 있는 수 <math>\alpha</math>는 다음과 같이 구성된다.
: 우리가 알고 있는 <math>\mathbb Q  </math> 
:: <math> < </math> 어떤 무리수 <math>\sqrt{q_1}\notin \mathbb Q</math> (<math>q_1 \in \mathbb Q</math>)를 추가하여 만든 [[field extension]] <math>\mathbb Q(\sqrt{q_1})  </math>
:: <math> < \cdots </math>
:: <math> < </math>어떤 무리수 <math>\sqrt{q_i}\notin \mathbb Q(\sqrt{q_1}, \cdots , \sqrt{q_{i-1}})</math> (<math>q_i \in \mathbb Q(\sqrt{q_1}, \cdots , \sqrt{q_{i-1}})</math>)를 추가하여 만든 field extension <math>\mathbb Q(\sqrt{q_1}, \cdots , \sqrt{q_{i-1}}, \sqrt{q_i})</math>
::<math> \ni \alpha</math>
여기에서 알 수 있는 것은, 각 단계의 ''차원'', 즉 다음 단계의 field를 전 단계의 field의 vector space로 간주하고 구한 차원이
:<math>\operatorname{dim}_{ \mathbb Q(\sqrt{q_1}, \cdots , \sqrt{q_{i-1}})}  \mathbb Q(\sqrt{q_1}, \cdots , \sqrt{q_{i}}) = [ \mathbb Q(\sqrt{q_1}, \cdots , \sqrt{q_{i}}): \mathbb Q(\sqrt{q_1}, \cdots , \sqrt{q_{i-1}})] = 2</math>
이므로, <math>[ \mathbb Q(\sqrt{q_1}, \cdots , \sqrt{q_{n}}):\mathbb Q ] = 2^n</math>인 것도 알 수 있다. 또한 <math>\mathbb Q (\alpha) \le  \mathbb Q(\sqrt{q_1}, \cdots , \sqrt{q_{n}})</math>이므로, <math> [\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q]</math>는 2의 거듭제곱이어야 한다!

== 그런데 말입니다 ==
위에서, <math>\alpha</math>가 작도 가능하려면 <math>\exists m \in \mathbb N_0: \; [\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q] = 2^m</math>이어야 함을 보였다. 그런데,
* <math>[\mathbb Q (\sqrt[3] 2):\mathbb Q] = 3</math>이다. 작도 불가능하다.
* <math>\pi</math>는 [[대수적 수]]조차 아니므로, <math>\sqrt \pi</math>도 작도 불가능하다.<ref><math>\pi</math>가 [[대수적 수]]가 아닌 초월수이므로 <math>\pi</math>의 작도는 눈금이 있는 자와 컴퍼스를 사용하는 뉴시스 작도나 종이를 접는 종이접기 작도로도 불가능하다.</ref>
* <math>\cos 20^\circ</math>를 생각해 보자. Cosine의 3배각 공식을 사용하면,
*: <math>8 \cos^3 20^\circ - 6 \cos 20^\circ - 1 = 0</math>
: 인데, 이것은 <math>\mathbb Q</math>에서 기약 다항식이므로, <math>[\mathbb Q ( \cos^3 20^\circ ):\mathbb Q] = 3</math>이다! 저 다항식이 기약이라는 것은, [[대입 심층면접]]에도 나온 전과가 있다. (...) 계수비교를 하거나 [[유리근 정리]]를 쓰면 쉽게(?) 해결된다.
결국, 위의 세 수는 '''모두 작도 불가능'''한 수이다. 그러나, 종이를 접는 종이접기 작도나 눈금이 있는 자와 컴퍼스를 사용하는 뉴시스 작도에서는 세제곱근의 작도가 가능하므로 임의의 각의 삼등분과 <math>\sqrt[3] 2</math>의 작도가 가능하다.

== 작도 가능성의 필요충분조건 ==
<math>\alpha</math>가 작도 가능하다면 <math> [\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q]</math>는 2의 거듭제곱이어야 한다는 것을 위에서 증명했다. 그러면, 이 역도 성립할까? 그 답은 '''NO'''이지만, 이를 [[Galois theory]]의 도움을 받아 필요충분조건을 찾을 수 있다!
: <math>\alpha \in \mathbb R</math>일 때, <math>K</math>가 <math>\mathbb Q(\alpha) / \mathbb Q</math>의 normal closure이면, <math>\alpha</math>가 작도 가능할 ''필요충분조건''이 <math>\exists m \in \mathbb N_0: \; [K:\mathbb Q] = 2^m</math>인 것이다.

== 참고문헌 ==
* 이인석, ''대수학'', 서울대학교출판부, ''pp.'' 206-209.

[[분류:기하학]]
[[분류:체론]]