행렬 편집하기


行列. Matrix.
*'''행렬'''(行列)은 여럿이 줄지어가는 모습을 뜻하는 말이기도 하다.

== 정의 ==
수나 식을 직사각형 모양으로 배열한 것. 가로줄을 행(low), 세로줄을 열(column)이라고 한다.

좀 더 수학적으로 정의하면 다음과 같다.

<math>R</math>가 [[환 (수학)|환]]이고 모든 <math>i=1, 2, \cdots, m</math>과 <math>j=1, 2, \cdots, n</math>에 대하여 <math>a_{ij}\in R</math>일 때,
<math>A=\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{bmatrix}</math>를 <math>R</math> 위의 <math>\left(m\times n\right)</math> 행렬이라고 부른다.

<math>\left(m\times n\right)</math> 행렬 전체의 집합은 <math>M_{m, n}\left(R\right)</math>으로 나타낸다. <math>\mathcal M_{m, n}\left(R\right)</math>나 <math>\mathfrak M_{m, n}\left(R\right)</math>나 <math>\operatorname{Mat}_{m,n}\left( R \right)</math>처럼 나타내기도 한다.
* 만일 <math>m=n</math>이면 <math>A</math>를 '''<math>n</math>차 정사각행렬(<math>n</math>‐th square matrix)'''이라고 한다. <math>n</math>차 정사각행렬 전체의 집합은 <math>M_{n, n}\left(R\right)</math> 또는 더 간편하게 <math>M_n\left(R\right)</math>로 나타낸다.
** 이때 n을 '''차수(order)'''라고 한다.
** 원소 <math>a_{11}, a_{22}, \cdots a_{nn}</math>을 포함하는 대각선을 '''주대각선(principal diagonal)'''이라고 한다.
* 만일 <math>m=1</math>이면 '''행벡터(row vector)'''라고 한다.
* 만일 <math>n=1</math>이면 '''열벡터(column vector)'''라고 한다.

행렬의 원소를 강조할 때는 <math>A=\left[ a_{ij} \right] = \left[ a_{ij} \right] _{m \times n}=\left( A \right) _{ij}</math>로 표기할 수 있다.

== 구성 성분 ==
<math>A=\left(a_{ij}\right)</math>에서 <math>a_{ij}</math>를 행렬 <math>A</math>의 '''<math>\left(i, j\right)</math> 성분(<math>\left(i, j\right)</math>‐th component)''' 혹은 '''<math>\left(i, j\right)</math> 원소(<math>\left(i, j\right)</math>‐th entry)'''라고 한다.

위 행렬의 <math>\left(i, 1\right)</math> 성분부터 <math>\left(i, n\right)</math> 성분까지, 즉 다음 행렬
: <math>\begin{bmatrix}
a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}
\end{bmatrix}</math>
을 행렬의 '''<math>i</math>번째 행벡터'''라고 하고(<math>i=1, 2, \cdots, m</math>), <math>[A]_i</math>로 적기도 한다.

또 행렬의 <math>\left(1, j\right)</math> 성분부터 <math>\left(m, j\right)</math> 성분까지, 즉 다음 행렬
: <math>\begin{bmatrix}
a_{1j}\\
a_{2j}\\
\vdots\\
a_{mj}
\end{bmatrix}</math>
을 행렬의 '''<math>j</math>번째 열벡터'''라고 하고(<math>j=1, 2, \cdots, n</math>), <math>[A]^j</math>로 적기도 한다.

위 행벡터, 열벡터를 이용해서 행렬을 다음과 같이 나타내기도 한다.
: <math>A
=\begin{bmatrix}
- &[A]_1& -\\
- &[A]_2& -\\
\vdots&\vdots&\vdots\\
- &[A]_m& -
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
{|} & {|} & {\cdots} & {|} \\
{[A]^{1}} & {[A]^{2}} & {\cdots} & {[A]^{n}} \\
{|} & {|} & {\cdots} & {|}
\end{bmatrix}</math>
== 행렬의 성질 ==
=== 연산 ===

==== 덧셈과 뺄셈 ====
행렬의 덧셈과 뺄셈은 행렬의 크기가 같을 때만 정의된다. 행렬의 덧셈·뺄셈 얘기가 나올 때 ‘크기가 맞을 때’라고 하면 이 조건을 의미하는 것이다.

행렬 <math>A, B</math>가 <math>\left(m\times n\right)</math>행렬일 때, 행렬의 덧셈과 뺄셈을 다음과 같이 성분별로(componentwisely) 정의한다. 즉,
* (덧셈) <math>A+B=\left(a_{ij}+b_{ij}\right)</math>
* (뺄셈) <math>A-B=\left(a_{ij}-b_{ij}\right)</math>

행렬의 덧셈에 대해 결합법칙과 교환법칙이 성립함은 자명하다(환 <math>R</math>의 덧셈의 결합법칙과 교환법칙이 성립하기 때문).

==== <math>R</math>상수곱 ====
행렬의 집합 위에서는 <math>R</math>상수곱이라는 작용(action)이 정의된다.

행렬 <math>A, B</math>가 <math>\left(m\times n\right)</math>행렬이고 <math>r\in R</math>일 때, 행렬의 <math>R</math>상수곱을 다음과 같이 성분별로(componentwisely) 정의한다. 즉,
* (<math>R</math>상수곱) <math>rA=\left(ra_{ij}\right)</math>

행렬의 덧셈과 뺄셈에 대한 위 상수곱의 분배법칙이 성립함은 자명하다(환 <math>R</math>의 덧셈에 대한 환 <math>R</math>의 곱셈의 교환법칙이 성립하기 때문). 또, 위 상수곱은 환 <math>R</math>의 곱셈과도 compatible하다(환 <math>R</math>의 결합법칙 때문).

몇 가지만 더 확인하면 앞서 정의한 덧셈과 <math>R</math>상수곱에 대하여 <math>\left(m\times n\right)</math>행렬 전체의 집합 <math>M_{\left(m, n\right)}\left(R\right)</math>은 <math>R</math>[[가군]]이 되고, 특별히 <math>R</math>이 [[체 (수학)|체]]이면 <math>R</math>[[벡터공간]]이 됨을 금방 확인할 수 있다.

==== 곱셈 ====
행렬의 곱셈은 앞 행렬의 행의 개수와 뒤 행렬의 열의 개수가 같을 때만 정의된다. 행렬의 곱셈 얘기가 나올 때 ‘크기가 맞을 때’라고 하면 이 조건을 의미하는 것이다.

행렬 <math>A</math>의 행 개수와 행렬 <math>B</math>의 열 개수가 같을 때, 두 행렬의 곱셈은 <math>A</math>의 각 행벡터와 <math>B</math>의 각 열벡터의 내적(inner product)을 원소로 가지는 행렬로 정의된다.

즉, 행렬 <math>A</math>가 <math>\left(m\times n\right)</math>행렬이고 <math>B</math>가 <math>\left(n\times r\right)</math>행렬일 때, 두 행렬의 곱 <math>C=AB</math>는 <math>\left(c_{ij}\right)=\left(\left[A\right] _i\cdot\left[B\right] ^j\right)</math>인 <math>\left(m\times r\right)</math>행렬이다.

행렬의 곱셈을 이렇게 일견 부자연스럽게 정의하는 데는 다 이유가 있다. 이는 [[선형대수학]]의 [[선형대수학의 기본 정리|기본 정리]], 즉 행렬과 [[선형사상]]은 같은 것이라는 명제를 배우고 나면 금방 이해할 수 있다.

가령 행렬<math>A,B</math>를 각 각 함수<math>L_1(\mathbf{x})=A\mathbf{x}, L_2(\mathbf{x})=B\mathbf{x}</math>로서 생각했을 때 우리가 위의 곱셈을 따른다면 두 함수의 합성은 <math>L_1 \circ L_2(\mathbf{x})=AB\mathbf{x}</math> 로서 나타나게 된다. 즉 함수의 합성을 곱의 계산으로 할 있게 되는 것이다!

행렬의 곱셈은 결합법칙은 만족하나 교환법칙은 성립하지 않는다. 이는 함수의 합성이 그렇기 때문이다. 한편 덧셈과 뺄셈에 대한 곱셈의 분배법칙은 성립한다.

앞서 정의한 덧셈과 <math>R</math>상수곱 그리고 지금 정의한 곱셈에 대하여 <math>n</math>차 정사각행렬 전체의 집합 <math>M_n\left(R\right)</math>은 <math>R</math>[[대수]](결합대수)가 됨을 보일 수 있다.

== 특수한 행렬 ==
아래 내용은 모든 행렬에서 정의된다.
* '''영행렬(zero matrix)''' <math>O</math>
*: 모든 원소가 0인 행렬로, 행렬의 덧셈의 [[항등원]]이다.
* '''전치행렬(transpose of a matrix)''' <math>A^T</math>
*: 원래 행렬의 행과 열을 뒤바꾼 행렬이다. 원래 행렬을 <math>A</math>에 대해 전치행렬을 <math>A^T</math>와 같이 표기한다. 자세한 내용은 [[전치행렬]]을 참조.

아래 내용은 정사각행렬에서만 정의된다.
* '''단위행렬(identity matrix)''' <math>I</math>
*: 주대각선(행 번호와 열 번호가 같은 원소들)이 1이고 나머지는 0인 행렬이다. 이는 정사각행렬의 곱셈의 [[항등원]]이 됨을 확인할 수 있다. [[고등학교]]에서는 <math>E</math>로도 많이 표기한다.
* '''역행렬(inverse matrix)''' <math>A^{-1}</math>
*: 어떤 행렬의 곱셈에 대한 [[역원]]을 말한다. 자세한 내용은 [[역행렬]]을 참조.<br />역행렬은 아무 때나 존재하는 것이 아니며, 역행렬이 존재하는 행렬을 '''가역행렬(invertible matrix)'''이라 한다. 단위행렬은 가역이고, 단위행렬의 역행렬은 자기 자신이다. [[선형대수학]]에서 어떤 행렬이 가역인 것과 동치인 조건을 엄청 많이 배울 수 있다.
* '''멱영행렬(nilpotent matrix)'''
*: 여러 번 거듭제곱하면 영행렬이 되는 행렬이다. 어떤 행렬이 멱영행렬이면 행렬의 차수가 <math>n</math>일 때 <math>n</math>번 이하로 거듭제곱하면 영행렬이 됨을 증명할 수 있다. 단위행렬은 멱영행렬이 아니고, 따라서 멱영행렬은 당연히 가역이 아니다.
* '''대각행렬(diagonal matrix)'''
*: 주대각선 외의 원소가 0인 행렬이다. 주대각선의 원소가 <math>a_1,a_2,\cdots a_n</math>일 때, 대각행렬을 <math>\operatorname{diag}\left(a_1,a_2,\cdots a_n\right)=
\begin{pmatrix}
a_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_n
\end{pmatrix}</math>로 표기한다. 자세한 내용은 [[대각행렬]]을 참조.
* '''대칭행렬(symmetric matrix)'''
*: <math>A = A^T</math>인 행렬이다. 모든 대각행렬은 당연히 대칭행렬이다. 모든 대칭행렬은 직교기저로써 대각화할 수 있다.
* '''직교행렬(orthogonal matrix)'''
*: <math>A A^T = A^T A = I</math>인 행렬이다. 직교행렬은 점곱을 보존하고, 나아가 길이와 거리도 보존한다.

아래 내용은 복소수체 <math>\mathbb{C}</math> 위의 행렬에 대해서만 정의된다.
* '''켤레전치행렬(conjugate transpose matrix)''' <math>A^\ast</math>
* '''정규행렬(normal matrix)'''
*: <math>A A^\ast = A^\ast A</math>인 정사각행렬이다. 모든 정규행렬은 직교기저로써 대각화할 수 있다.
* '''에르미트행렬(Hermitian matrix)'''
*: <math>A = A^\ast</math>인 정사각행렬이다. 모든 에르미트행렬은 정규행렬이다.
* '''유니터리행렬(unitary matrix)'''
*: <math>A A^\ast = A^\ast A = I</math>인 정사각행렬이다. 유니터리행렬은 안곱을 보존하고, 나아가 길이와 거리도 보존한다. 모든 유니터리행렬은 정규행렬이다.

{{주석}}

[[분류:행렬| ]]
[[분류:대수학]]
[[분류:추상대수학]]
[[분류:선형대수학]]
@@ 65번째 줄: / 65번째 줄: @@
 * (덧셈) <math>A+B=\left(a_{ij}+b_{ij}\right)</math>
 * (뺄셈) <math>A-B=\left(a_{ij}-b_{ij}\right)</math>
-예를 들어, <math>R=\mathbb{R}</math>이고 <math>A,B\in M_2(R)</math>에 대해 <math>A=\begin{bmatrix}
-& -12\\
+행렬의 덧셈에 대해 결합법칙과 교환법칙이 성립함은 자명하다(환 <math>R</math>의 덧셈의 결합법칙과 교환법칙이 성립하기 때문).
--5 & 3
-\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}
--2 & 7\\
-& 1
-\end{bmatrix}</math>이면
-: <math>\begin{align}
-A+B&=\begin{bmatrix}
-& -12\\
--5 & 3
-\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
--2 & 7\\
-& 1
-\end{bmatrix}\\
-&=\begin{bmatrix}
-+(-2) & -12+7\\
--5+0 & 3+1
-\end{bmatrix}\\
-&=\begin{bmatrix}
-& -5\\
--5 & 4
-\end{bmatrix}
-\end{align}</math>
-이며, <math>R=\mathbb{Z}_3</math>이고 <math>A,B\in M_2(R)</math>에 대해 <math>A=\begin{bmatrix}
-& 0\\
-& 1
-\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}
-& 2\\
-& 1
-\end{bmatrix}</math>이면
-: <math>\begin{align}
-A-B&=\begin{bmatrix}
-& 0\\
-& 1
-\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
-& 2\\
-& 1
-\end{bmatrix}\\
-&=\begin{bmatrix}
--2 & 0-2\\
--0 & 1-1
-\end{bmatrix}\\
-&=\begin{bmatrix}
--1 & -2\\
-& 0
-\end{bmatrix}\\
-&=\begin{bmatrix}
-& 1\\
-& 0
-\end{bmatrix}
-\end{align}</math>
-환 <math>R</math>의 덧셈의 결합법칙과 교환법칙이 성립하기 때문에, 행렬의 덧셈에 대해 결합법칙과 교환법칙이 성립함은 자명하다.
 ==== <math>R</math>상수곱 ====