로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요![[극한]] 문서에도 설명이 되어있지만, 극한이라는 개념은 [[고대 그리스]] 시절부터 존재해 왔다. 특히 [[함수]]의 극한은 [[아이작 뉴턴|뉴턴]]이 [[미적분학]]을 만들면서 본격적으로 발전하기 시작하였다. 그러나 당시에는 엄밀한 수학적 증명보다는 직관에 의존하였다. 이는 [[물리학]]에서는 크게 문제가 되진 않았을지 몰라도, [[수학]]에서는 상당한 문제가 되었다. 이를 해결하기 위해선 극한의 수학적인 엄밀한 정의가 필요하게 되었고, 이는 [[베르나르트 볼차노|볼차노]], [[오귀스탱 루이 코시|코시]], [[카를 바이어슈트라스|바이어슈트라스]]에 의해 완성되었다. == 정의 == === 직관적인 정의 === <math>x</math>에 관한 함수 <math>f\left(x\right)</math>에 대해 <math>x</math>가 어떤 값 <math>c</math>에 한없이 가까워지면 함숫값 <math>f\left(x\right)</math>도 어떤 값 <math>L</math>에 한없이 가까워진다고 하자. 그럼 <math>x</math>가 <math>c</math>로 갈 때 <math>f\left(x\right)</math>는 '''<math>L</math>에 수렴한다(converges to <math>L</math>)'''고 하며, :<math>\lim_{x\to c}f\left(x\right)=L</math> 로 표기한다. 만약 수렴하지 않으면 '''발산한다(diverges)'''고 한다. 고등학교에서 가르치는 직관에 의존하는 정의이다. 앞서 말했듯이 이 정의는 엄밀하지 않다. 디레클레 함수 같은 경우에는 함숫값이 뭘로 다가가는지 어떻게 아는가? === 엄밀한 정의 === 수열과 비슷하게 <math>\varepsilon\text{-}\delta</math> 논법을 사용한다. :함수 <math>f : A (\subseteq \mathbb R)\to \mathbb R</math> 및 <math>A</math>의 극한점(limit point) <math>c \in A'</math>에 대해, :임의의 실수 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 적당한 실수 <math>\delta>0</math>가 존재하여 <math>0<\left|x-c\right|<\delta</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math>일 때, <math>x</math>가 <math>c</math>로 갈 때 <math>f\left(x\right)</math>는 <math>L</math>에 수렴한다고 한다. 몇 가지 확인해 둘 점이 있다. * 먼저, <math>c</math>는 정의역 <math>A</math>에 속할 필요는 없다. 그러나 <math>A</math>의 극한점이어야 한다. * <math>x</math>의 조건은 <math>0<\left|x-c\right|<\delta</math>이지 <math>\left|x-c\right|<\delta</math>이 절대 '''아니다.''' 극한은 어디까지나 <math>x \neq c</math>일 때의 정보를 가지고 <math>x=c</math>에서의 가장 자연스러운 함숫값을 찾아내는 과정이기 때문이다. 만일 <math>\left|x-c\right|<\delta</math>를 조건으로 하면, <math>x=c</math>에서의 함숫값이 <math>x \to c</math>에서의 극한값과 다를 때 문제가 생긴다.<ref><math>x=c</math>에서 함숫값이 존재하지 않는 경우에는 <math>c</math>가 정의역에서 빠지므로 사실 별 문제가 없다.</ref> 즉, 연속함수에서만 극한값이 존재하게 된다. 그러한 극한의 정의는 쓸모가 매우 적을 것이다. 따라서 <math>x=c</math>인 경우를 반드시 제외해야 한다.<ref>거리가 0보다 큰 것이 본질이 아니라, <math>x \neq c</math>인 것이 본질이라는 뜻이다. 나중에 빠진 근방(punctured neighborhood) 개념이 필요하게 된다.</ref> * 반대로 함숫값의 조건은 <math>\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math>이지 <math>0<\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math>이 아니다. 만일 <math>0<\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math>를 조건으로 하면, <math>x=c</math> 주변에서 <math>L</math>을 유한 번 이하로 assume하는 함수와 그렇지 않은 함수(예를 들어 <math>f\left(x\right)=L</math>인 [[상수함수]])를 차별하게 된다. 예를 들어 <math>f\left(x\right)=ax</math> 꼴의 일차함수에서 <math>a \neq 0</math>이면 <math>\lim_{x\to 0}f\left(x\right)=0</math>이지만, <math>a=0</math>이면 극한값을 정할 수 없다는 것인데, 무언가 심각하게 잘못되었다고 생각할 수밖에 없다. <math>x=c</math> 주변에서 계속 <math>L</math>이면 극한값도 당연히 <math>L</math>이라고 할 수 있어야 할 것이다. 따라서 반드시 <math>\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math>이라고 하여야 한다. ==== 예시 ==== * <math>\lim_{x\to 2}x^2=4</math>임을 보이자. 임의의 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 <math>\delta=\min\left\{\frac{\varepsilon }{5},1\right\}</math>로 두자. 이때 <math>|x-2|<\delta</math>이면 절댓값을 풀어 <math>3 < x+2 < 5</math>를 얻고, 따라서 : <math>\begin{align} |x^2-4|&=|x+2||x-2|\\ &<5\delta\\ &\le \varepsilon \end{align}</math> 이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다. === 한쪽 극한 === 함수에 따라서는 <math>x</math>가 왼쪽에서 다가오냐, 오른쪽에서 다가오냐에 따라 극한값이 다를 수도 있다. <math>x</math>가 왼쪽에서 다가올 때의 극한값을 '''좌극한''', 오른쪽에서 다가올 때의 극한값을 '''우극한'''이라 부른며, 정의는 다음과 같다. :임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 <math>c< x< c+\delta</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math>을 만족하는 <math>\delta>0</math>이 존재하면, <math>f\left(x\right)</math>의 <math>x=c</math>에서의 우극한이 존재하며, 기호로는 <math>\lim_{x\to c^+}f\left(x\right)=L</math>로 표기한다. :임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 <math>c-\delta< x< c</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math>을 만족하는 <math>\delta>0</math>이 존재하면, <math>f\left(x\right)</math>의 <math>x=c</math>에서의 좌극한이 존재하며, 기호로는 <math>\lim_{x\to c^-}f\left(x\right)=L</math>로 표기한다. 극한값이 존재한다는 명제와 좌극한, 우극한이 존재하며, 그 값이 같다는 명제는 서로 동치이다. 엡실론-델타를 사용하면 각각 한 줄 짜리 증명이므로 생략한다. === 무한 === 극한값이 무한대인 경우는 어떻게 정의할까? 마찬가지로 엡실론-델타를 쓰긴하나 살짝 변형된 형태를 사용한다. :임의의 <math>M>0</math>에 대해, <math>0<\left|x-c\right|<\delta</math>이면 <math>f\left(x\right)> M</math>을 만족하는 <math>\delta>0</math>이 존재하면, <math>\lim_{x\to c}f\left(x\right)=\infty</math>로 정의한다. :임의의 <math>M>0</math>에 대해, <math>0<\left|x-c\right|<\delta</math>이면 <math>f\left(x\right)< -M</math>을 만족하는 <math>\delta>0</math>이 존재하면, <math>\lim_{x\to c}f\left(x\right)=-\infty</math>로 정의한다. 한쪽 극한에 대한 경우도 비슷하며, 이는 생략한다. <math>x</math>가 무한대로 가는 경우의 극한값도 변형된 엡실론-델타 논법을 사용한다. :임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 <math>x> M</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math>을 만족하는 <math>M>0</math>이 존재한다고 하자. 그럼 <math>\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=L</math>로 정의한다. :임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 <math>x< -M</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math>을 만족하는 <math>M>0</math>이 존재한다고 하자. 그럼 <math>\lim_{x\to -\infty}f\left(x\right)=L</math>로 정의한다. 마지막으로 <math>x</math>가 무한대로 갈 때 극한값도 무한대로 가는 경우의 정의는 다음과 같다. :임의의 <math>M>0</math>에 대해, <math>x> K</math>이면 <math>f\left(x\right)> M</math>을 만족하는 <math>K>0</math>이 존재하면, <math>\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=\infty</math>로 정의한다. :임의의 <math>M>0</math>에 대해, <math>x< -K</math>이면 <math>f\left(x\right)> M</math>을 만족하는 <math>K>0</math>이 존재하면, <math>\lim_{x\to -\infty}f\left(x\right)=\infty</math>로 정의한다. :임의의 <math>M>0</math>에 대해, <math>x> K</math>이면 <math>f\left(x\right)< -M</math>을 만족하는 <math>K>0</math>이 존재하면, <math>\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=-\infty</math>로 정의한다. :임의의 <math>M>0</math>에 대해, <math>x< -K</math>이면 <math>f\left(x\right)< -M</math>을 만족하는 <math>K>0</math>이 존재하면, <math>\lim_{x\to -\infty}f\left(x\right)=-\infty</math>로 정의한다. === 다변수 함수 === 다변수 함수에서도 일변수 함수와 비슷하게 엡실론-델타 논법으로 극한을 정의한다. :<math>f:A_{A\subset\mathbb{R}^n}\mapsto\mathbb{R}^m</math>로 정의하고, <math>\mathbf{{x_0}}</math>를 정의역 <math>A</math>의 내부, 혹은 경계의 원소라 하자. 그럼 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 <math>0<\left\|\mathbf{x}-\mathbf{{x_0}}\right\|<\delta,\,\forall\mathbf{x}\in A</math>이면 <math>\left\|f\left(\mathbf{x}\right)-L\right\|<\varepsilon</math>을 만족하는 <math>\delta>0</math>가 존재하면, <math>\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{{x_0}}}f\left(\mathbf{x}\right)=L</math>로 정의한다. == 성질 == === 유일성 === "함수의 극한값이 두 개가 될 수 있을까?"라는 질문을 박살내주는 성질. 고등학교에서도 증명은 하지 않고 배우겠지만, 함수의 극한값은 유일하다. <math>\lim_{x\to c}f\left(x\right)=L_1,\,\lim_{x\to c}f\left(x\right)=L_2</math>라 하자. <math>L_1=L_2</math>임을 증명하면 된다. 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해, 적당한 <math>\delta_1>0</math>이 존재하여 <math>0<\left|x-c\right|<\delta_1</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L_1\right|<\frac{\varepsilon}{2}</math>이다. 또한, 적당한 <math>\delta_2>0</math>이 존재하여 <math>0<\left|x-c\right|<\delta_2</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L_2\right|<\frac{\varepsilon}{2}</math>이다. <math>x_0\in N^*_{\delta_1}\left(c\right)\cap N^*_{\delta_2}\left(c\right)</math>인 <math>x_0</math>를 고른다. 그럼, [[삼각부등식]]에 의해 :<math>\left|L_1-L_2\right|=\left|L_1-f\left(x_0\right)+f\left(x_0\right)-L_2\right|\leq\left|L_1-f\left(x_0\right)\right|+\left|f\left(x_0\right)-L_2\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon</math> 이다. 이는 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 성립하므로, 이를 만족하기 위해서는 <math>L_1=L_2</math>이어야 한다. === 기본 연산 === <math>\lim_{x\to c}f\left(x\right)=L_1,\,\lim_{x\to c}g\left(x\right)=L_2</math>라 하자. 그럼 다음이 성립한다. #<math>\lim_{x\to c}f\left(x\right)+g\left(x\right)=L_1+L_2</math> #<math>\lim_{x\to c}f\left(x\right)g\left(x\right)=L_1L_2</math> #<math>\lim_{x\to c}\frac{1}{g\left(x\right)}=\frac{1}{L_2},\text{ if }L_2\neq0</math> 각각의 증명은 다음과 같다. [[수열의 극한]]과 대체로 비슷하다. #임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해, 적당한 <math>\delta_1>0</math>이 존재하여 <math>0<\left|x-c\right|<\delta_1</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L_1\right|<\frac{\varepsilon}{2}</math>이다. 또한, 적당한 <math>\delta_2>0</math>이 존재하여 <math>0<\left|x-c\right|<\delta_2</math>이면 <math>\left|g\left(x\right)-L_2\right|<\frac{\varepsilon}{2}</math>이다. 이제 <math>\delta=\min\left(\delta_1,\delta_2\right)</math>라 하자. 그럼 <math>0<\left|x-c\right|<\delta</math>이면, <math>\left|f\left(x\right)+g\left(x\right)-L_1-L_2\right|\leq\left|f\left(x\right)-L_1\right|+\left|g\left(x\right)-L_2\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon</math>이다. #<math>g</math>가 <math>x=c</math>에서 수렴하므로, 적당한 <math>\delta_1>0</math>에 대해 <math>g</math>는 <math>N^*_{\delta_1}\left(c\right)</math>에서 [[유계]]이다. 즉, 적당한 <math>M>0</math>에 대해 <math>\left|g\left(x\right)\right|< M,\,\forall x\in N^*_{\delta_1}\left(c\right)</math>. 또한, 적당한 <math>\delta_2>0</math>이 존재하여 <math>0<\left|x-c\right|<\delta_2</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L_1\right|<\frac{\varepsilon}{2M}</math>이다. 그리고 적당한 <math>\delta_3>0</math>이 존재하여 <math>0<\left|x-c\right|<\delta_3</math>이면 <math>\left|g\left(x\right)-L_2\right|<\frac{\varepsilon}{2\left|L_1\right|+1}</math>이다. 이제 <math>\delta=\min\left(\delta_1,\delta_2,\delta_3\right)</math>로 정의하자. 그럼 <math>0<\left|x-c\right|<\delta</math>이면, <math>\left|f\left(x\right)g\left(x\right)-L_1L_2\right|=\left|f\left(x\right)g\left(x\right)-L_1g\left(x\right)+L_1g\left(x\right)-L_1L_2\right|\leq\left|f\left(x\right)g\left(x\right)-L_1g\left(x\right)\right|+\left|L_1g\left(x\right)-L_1L_2\right|</math><br /><math>=\left|g\left(x\right)\right|\left|f\left(x\right)-L_1\right|+\left|L_1\right|\left|g\left(x\right)-L_2\right|< M\cdot\frac{\varepsilon}{2M}+\left|L_1\right|\cdot\frac{\varepsilon}{2\left|L_1\right|+1}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon</math>이다. #<math>L_2\neq0</math>이므로, 적당한 <math>\delta_1>0</math>에 대해 <math>0<\left|x-c\right|<\delta_1</math>이면 <math>\left|g\left(x\right)-L_2\right|<\frac{\left|L_2\right|}{2}</math>이다. 이를 삼각부등식을 활용해 잘 전개해 주면, <math>\left|g\left(x\right)\right|>\frac{\left|L_2\right|}{2}</math>를 얻는다. 이제 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 적당한 <math>\delta_2>0</math>이 존재하여 <math>0<\left|x-c\right|<\delta_2</math>이면 <math>\left|g\left(x\right)-L_2\right|<\frac{\left|L_2\right|^2}{2}\varepsilon</math>이다. 이제 <math>\delta=\min\left(\delta_1,\delta_2\right)</math>라 하자. 그럼 <math>0<\left|x-c\right|<\delta</math>이면, <math>\left|\frac{1}{g\left(x\right)}-\frac{1}{L_2}\right|=\frac{1}{\left|L_2g\left(x\right)\right|}\left|g\left(x\right)-L_2\right|\leq\frac{2}{\left|L_2\right|^2}\frac{\left|L_2\right|^2}{2}\varepsilon=\varepsilon</math>이다. 위 세 기본 연산을 사용하면 아래 세 따름정리를 증명할 수 있다. 증명은 생략한다. #<math>\lim_{x\to c}kf\left(x\right)=kL_1,\,k\in\mathbb{R}</math> #<math>\lim_{x\to c}f\left(x\right)-g\left(x\right)=L_1-L_2</math> #<math>\lim_{x\to c}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{L_1}{L_2},\text{ if }L_2\neq0</math> === 크기 비교 === 어떤 두 함수에 대해 한 함수가 다른 함수보다 항상 크다고 하자. 그럼 직관적으로 극한값도 큰 쪽의 함수가 더 클 것이다. 좀 더 엄밀하게 나타내면 다음과 같다. <math>\lim_{x\to c}f\left(x\right)=L_1,\,\lim_{x\to c}g\left(x\right)=L_2</math>이고, 적당한 <math>\delta>0</math>에 대해 <math>f\left(x\right)\leq g\left(x\right),\,\forall x\in N^*_{\delta}\left(c\right)</math>이면, <math>L_1\leq L_2</math>이다. :[[귀류법]]을 사용한다. 즉, <math>L_1> L_2</math>라 가정한다. 그럼 <math>\lim_{x\to c}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=L_1-L_2>0</math>이므로, <math>\varepsilon=\frac{1}{2}\left(L_1-L_2\right)</math>에 대해 적당한 <math>\hat{\delta}</math>이 존재하여 <math>x\in N^*_{\hat{\delta}}\left(c\right)</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)-\left(L_1-L_2\right)\right|<\varepsilon=\frac{1}{2}\left(L_1-L_2\right)</math>이다. [[절댓값]]을 풀어주면, <math>\frac{1}{2}\left(L_1-L_2\right)< f\left(x\right)-g\left(x\right)<\frac{3}{2}\left(L_1-L_2\right)</math>이다. 이 때, 좌변은 양수이므로, <math>f\left(x\right)-g\left(x\right)>0</math>이고, 이는 모순이다. 따라서 <math>L_1\leq L_2</math>이다. === 수열과 함수 === 함수의 극한을 배우기 전에는 보통 [[수열의 극한]]을 먼저 배운다. 여기에는 이유가 있는데, 함수의 극한을 수열의 극한으로 바꾸어 줄 수 있기 때문. 자세한 명제는 다음과 같다. <math>\lim_{x\to c}f\left(x\right)=L</math>은 <math>f</math>의 정의역에 존재하는 <math>\lim_{n\to\infty}x_n=c,\,x_n\neq c,\,\forall n\in\mathbb{N}</math>인 모든 [[수열]] <math>\left\{x_n\right\}</math>에 대해 <math>\lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right)=L</math>인 것과 동치이다. 증명은 다음과 같다. :먼저 <math>\lim_{x\to c}f\left(x\right)=L</math>이고, <math>f</math>의 정의역 내의 수열 <math>\left\{x_n\right\}</math>이 <math>\lim_{n\to\infty}x_n=c,\,x_n\neq c,\,\forall n\in\mathbb{N}</math>라고 가정하자. 이제 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해, 적당한 <math>\delta>0></math>이 존재하여 <math>0<\left|x-c\right|<\delta</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math>이다. 또한, 적당한 자연수 <math>N</math>이 존재하여 <math>n> N</math>이면 <math>0<\left|x_n-c\right|<\delta</math>이다. 따라서, <math>n> N</math>이면 <math>\left|f\left(x_n\right)-L\right|<\varepsilon</math>이고, 이는 곧 <math>\lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right)=L</math>이다. :역으로, <math>\lim_{x\to c}f\left(x\right)\neq L</math>라 가정하자. 그럼 임의의 <math>\delta>0</math>에 대해 <math>x\in N^*_{\delta}\left(c\right)</math>이고 <math>\left|f\left(x\right)-L\right|\geq\varepsilon</math>를 만족하는 <math>\varepsilon>0</math>이 존재한다. 이제 각 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>x_n</math>을 <math>x_n\in N^*_{1/n}\left(c\right)</math>이고 <math>\left|f\left(x_n\right)-L\right|\geq\varepsilon</math>이 되게 뽑는다. 그럼 각 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>0<\left|x-c\right|<1/n</math>이고 <math>\left|f\left(x_n\right)-L\right|\geq\varepsilon</math>이다. 명백히, <math>\lim_{n\to\infty}x_n=c,\,x_n\neq c,\,\forall n\in\mathbb{N}</math>인데 <math>\lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right)\neq L</math>이다. === 샌드위치 정리 === 세 함수 <math>f,g,h</math>에 대해 <math>\lim_{x\to c}f\left(x\right)=\lim_{x\to c}h\left(x\right)=L</math>이고, <math>f\left(x\right)\leq g\left(x\right)\leq h\left(x\right)</math>이면 <math>\lim_{x\to c}g\left(x\right)=L</math>이라는 정리. 고등학교에서 <math>\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1</math>을 증명할 때 한 번 쯤은 다들 보았을 것이다. 샌드위치라는 이름은 마치 세 함수가 샌드위치처럼 끼어서 한 극한값을 유도하기 때문에 붙여진 이름. 영미권에서도 샌드위치 정리라 부른다. :임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 적당한 <math>\delta_1>0</math>이 존재하여 <math>0<\left|x-c\right|<\delta_1</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math>이다. 마찬가지로, 적당한 <math>\delta_2>0</math>이 존재하여 <math>0<\left|x-c\right|<\delta_2</math>이면 <math>\left|h\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math>이다. 이제 <math>\delta=\min\left(\delta_1,\delta_2\right)</math>라 하자. 그럼 <math>0<\left|x-c\right|<\delta</math>일 때, <math>\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon,\,\left|h\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math>이다. 각 부등식에서, <math>-\varepsilon< f\left(x\right)-L,\,h\left(x\right)-L<\varepsilon</math>이다. 한편, <math>f\left(x\right)\leq g\left(x\right)\leq h\left(x\right)</math>이므로, <math>-\varepsilon< f\left(x\right)-L\leq g\left(x\right)-L \leq h\left(x\right)-L<\varepsilon</math>이고, 이는 곧 <math>\left|g\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math>을 의미한다. 따라서 <math>\lim_{x\to c}g\left(x\right)=L</math>. {{각주}} [[분류:해석학]] [[분류:함수]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)