로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!'''펠 수'''(Pell number)는 [[뤼카 수열]]로 정의되는 수들로, [[피보나치 수]]와 유사한 특징을 가지고 있다. 처음 펠 수는 아래와 같다. * 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, … {{OEIS|A000129}} == 정의 == 펠 수열은 <math>P_0=0, P_1=1, P_n=2P_{n-1}+P_{n-2} (n \geq 2)</math>로 정의한다. 이는 제1종 뤼카 수열인 <math>U_n(2, -1)</math>에 해당한다. 점화식을 풀면 <math>P_n=\frac{(1+\sqrt{2})^n-(1-\sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}}</math>이다. [[백은비]] <math>\varphi=1+\sqrt{2}</math>를 써서 표현하면 <math>P_n=\frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{2\sqrt{2}}</math>이다. 이웃한 두 항 사이의 비는 백은비에 수렴한다. [[피보나치 수열]]의 이웃한 두 항 사이의 비가 [[황금비]]에 수렴하는 것과 같다. <math>\lim_{n \to \infty}\frac{P_n}{P_{n-1}}=\lim_{n \to \infty}\frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{\varphi^{n-1}-(-\varphi)^{-n+1}}=\lim_{n \to \infty}\frac{\varphi-(-1)^n\varphi^{-2n+1}}{1-(-1)^n\varphi^{-2n+2}}=\varphi</math> 한편 보조 펠 수(companion Pell number)도 생각할 수 있는데, 점화식은 같지만 초기 조건이 다르다. 제2종 뤼카수열인 <math>V_n(2, -1)</math>과 같으며, 뤼카 수와 형태가 유사하다. 펠-뤼카 수(Pell-Lucas number)라고도 불린다. * <math>Q_0=Q_1=2, Q_n=2Q_{n-1}+Q_{n-2} (n \geq 2)</math> * <math>Q_n=(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n=\varphi^n+(-\varphi)^{-n}</math> * 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, 2786, 6726, 16238, … {{OEIS|A002203}} 나아가 이 수열의 각 항을 2로 나눈 값들로 정수열을 또 정의할 수 있다. 즉 <math>H_n=\frac{Q_n}{2}</math> * 1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, 1393, 3363, 8119, … {{OEIS|A001333}} == 성질 == 앞서 정의한 수열의 항들 사이에는 아래 관계식이 성립한다. * <math>Q_n=P_{n-1}+P_{n+1}, P_n=\frac{Q_{n-1}+Q_{n+1}}{8}=\frac{H_{n-1}+H_{n+1}}{4}, H_n=P_{n-1}+P_n=P_{n+1}-P_n</math> * <math>P_{m+n}=\frac{P_mQ_n+Q_mP_n}{2}=P_mH_n+H_mP_n, Q_{m+n}=\frac{1}{2}Q_mQ_n+4P_mP_n, H_{m+n}=H_mH_n+2P_mP_n</math> * <math>P_{2n}=P_nQ_n, Q_{2n}=Q_n^2-2(-1)^n=8P_n^2+2(-1)^n</math> * <math>P_{2n+1}=P_n^2+P_{n+1}^2</math> 백은비의 거듭제곱은 펠 수와 보조 펠 수의 반으로 나타낼 수 있다. * <math>\varphi^n=(1+\sqrt{2})^n=H_n+P_n\sqrt{2}</math> * <math>(-\varphi)^{-n}=(1-\sqrt{2})^n=H_n-P_n\sqrt{2}</math> * 두 식을 곱하면 <math>(-1)^n=H_n^2-2P_n^2</math>이다. === <math>\sqrt{2}</math>와의 연관성 === 백은비 <math>\varphi</math>는 이차방정식 <math>x^2=2x+1</math>의 양의 실근이다. 방정식을 변형하면 <math>x=2+\frac{1}{x}</math>이다. 이 식과 비슷한 모양을 한 수열을 정의한다. 초깃값과 점화식을 <math>a_1=\frac{P_2}{P_1}=2, a_n=2+\frac{1}{a_{n-1}} (n \geq 2)</math>와 같이 정의하면 <math>a_n=\frac{P_{n+1}}{P_n}</math>이다. 아울러 이 수열은 [[연분수]]로 <math>a_n=[2;2,2,2,\cdots 2]</math>의 꼴이며, 여기서 2는 맨 앞의 항을 포함해서 <math>n</math>개 들어가 있다. <math>b_n=a_n-1</math>이라 하면 <math>b_n=\frac{P_{n+1}-P_n}{P_n}=\frac{P_n+P_{n-1}}{P_n}=\frac{H_n}{P_n}</math>이다. 또, <math>\lim_{n \to \infty}a_n=\varphi, \lim_{n \to \infty}b_n=\sqrt{2}</math>이다. 따라서 <math>n</math>이 클 때 <math>H_n \approx \sqrt{2}P_n</math>이라 할 수 있다. <math>n</math>이 홀수일 때, <math>P_n</math>은 [[피타고라스 수]]의 빗변의 길이이다. 변의 길이 순서쌍은 <math>(P_{k+1}^2-P_k^2, 2P_{k+1}P_k, P_{k+1}^2+P_k^2)</math>이고, 위 성질 문단을 이용하면 <math>(H_{k+1}H_k, 2P_{k+1}P_k, P_{2k+1})</math>로도 쓸 수 있다. 짧은 두 변의 길이의 비는 <math>\frac{H_{k+1}H_k}{2P_{k+1}P_k} \approx \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}=1</math>이므로 직각삼각형은 직각이등변삼각형에 가까워진다. 위 피타고라스 수에 자연수 <math>k</math>를 차례대로 대입하면 짧은 두 변의 길이의 차는 언제나 1이다. :(3, 4, 5), (21, 20, 29), (119, 120, 169), (697, 696, 985), (4059, 4060, 5741), … == 펠 소수 == '''펠 소수'''(Pell prime)는 펠 수 중 [[소수 (정수)|소수]]인 수들을 말한다. <math>P_n</math>이 소수가 되는 알려진 <math>n</math>의 값은 아래와 같이 모두 소수이다. * 2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, 13339, 14033, 23747, 28183, 34429, 36749, 90197 {{OEIS|A096650}}: 총 31개 * 가장 작은 펠 소수는 2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, … {{OEIS|A086383}} 또한 보조 펠 수에 대해서도 소수를 생각할 수 있다. 이를 펠-뤼카 소수(Pell-Lucas prime)라 한다. <math>H_n</math>이 소수가 되는 알려진 <math>n</math>의 값은 아래와 같이 소수이거나 2의 거듭제곱이다. * 2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421, 937, 947, 1493, 1901, 6689, 8087, 9679, 28753, 79043, 129127, 145969, 165799, 168677, 170413, 172243, 278321 {{OEIS|A099088}}: 총 30개 * 가장 작은 펠-뤼카 소수는 3, 7, 17, 41, 239, 577, 665857, 9369319, 63018038201, … {{OEIS|A086395}} == 같이 보기 == * [[금속비]] * [[피보나치 수열]] * [[뤼카 수열]] {{각주}} {{소수}} [[분류:수열]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · 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ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:OEIS (편집) 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:소수 (편집) 틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)