제곱근 편집하기

Square root(가끔은 그냥 Root).

== 개요 ==
중학교 때 [[피타고라스 정리]]를 배우면서 처음 배우게 되는 개념.

수 <math>a</math>에 대해 제곱하여 <math>a</math>가 되는 수를 '''<math>a</math>의 제곱근(square root of <math>a</math>)'''이라고 하며, <math>\sqrt a</math>로 나타낸다. 말 그대로 제곱법에 대해 근이 되는 수이기 때문에(즉 방정식 <math>x^2 = a</math>의 근) '''‘제곱’ ‘근’'''이라 한다.

<math>-\sqrt a</math>도 제곱하면 <math>a</math>가 되기 때문에 <math>a</math>의 제곱근은 <math>\pm\sqrt a</math>의 두 개가 된다. <math>a</math>가 '''양의 실수'''인 경우 두 제곱근 중에는 양수인 것과 음수인 것이 하나씩 있는데, 이 중 양수인 제곱근을 '''양의 제곱근''', 음수인 제곱근을 '''음의 제곱근'''이라 부르며, <math>\sqrt a</math>는 양의 제곱근만을 나타내는 것이 관례이다.<ref>즉 이 관례는 <math>a</math>가 음의 실수라거나, 허수인 경우에는 전혀 적용되지 않는다.</ref>

<math>\sqrt\;</math>는 제곱근 기호 혹은 약하여 '''근호(root sign)'''라고 부르며, <math>\sqrt a</math>는 {{ㅊ|근호 <math>a</math>라고는 하지 않고}} '''루트(root) <math>a</math>''' 혹은 '''제곱근 <math>a</math>'''라고 한다. 즉 “<math>a</math>'''의''' 제곱근”이라고 하면 <math>\pm\sqrt a</math>의 두 개이지만, “제곱근 <math>a</math>”라고 하면 이때는 ‘제곱근’은 기호의 이름이기 때문에 <math>\sqrt a</math> 하나만을 가리키는 것이다. 함정 문제로 자주 나오는 유형이니 잘 알아 두자.

인류 최초로 발견된 제곱근은 <math>\sqrt2</math>이라고 한다. 피타고라스의 제자인 히파수스가 발견했다고 알려져 있으며, 이 수의 존재는 세상 모든 것이 [[자연수]]로 구성되어있다는 피타고라스 학파의 믿음에 정면으로 반하는 수이다. 이 때문에 히파수스는 암살을 당했다느니 자살을 했다느니 하는 설들이 존재하지만, 어느 쪽도 명백한 증거는 없다. 사실 히파수스가 <math>\sqrt2</math>를 정말로 발견했는지도 의문에 쌓여 있다. 어찌 되었건, 이 수의 존재로 인해 [[유리수]]가 아닌 수가 존재한다는 사실이 밝혀졌고, 현대에는 이러한 수를 [[무리수]]라 부른다. <math>\sqrt2</math>가 [[유리수]]가 아님을 보이는 증명은 여러 가지가 있지만, 가장 잘 알려진 것은 [[귀류법]]과 [[서로소]]를 이용한 증명일 것이다. 혹은 자연수의 정렬성을 이용하는 증명도 있다.

== 거듭제곱근 ==
제곱근의 개념을 확장하여 거듭제곱근을 정의할 수 있다.

수 <math>a</math>에 대해 <math>n</math>제곱하여 <math>a</math>가 되는 수를 '''<math>a</math>의 <math>n</math>제곱근(<math>n</math>‐th root of <math>a</math>)'''이라고 하며, <math>\sqrt[n]{a}</math>로 나타낸다(단, <math>n</math>은 자연수). 물론 <math>n=2</math>일 경우에는 이제곱근이 아니라 제곱근이라 부르며, 숫자 2도 생략한다. 이는 어떤 수의 제곱을 이제곱이라고 하지 않는 것과 마찬가지이다. {{ㅊ|물론 제곱에서 숫자 2를 생략하면 안 된다.}}<ref>{{ㅊ|Characteristic이 2이면 생략해도 된다.}}</ref>

<math>a</math>가 '''양의 실수'''이고 <math>n</math>이 짝수인 경우 거듭제곱근 중에는 양수인 것과 음수인 것이 하나씩 있다. 양수인 것이 존재함은 다음 절에서 증명할 것이고, 음수인 것이 존재함은 이번에도 <math>-\sqrt[n]{a}</math>도 <math>n</math>제곱하면 <math>a</math>가 되기 때문이다. 어쨌든, 이때에도 <math>\sqrt[n]{a}</math>는 양수인 것만을 나타내는 것이 관례이다.<ref>이때는 양의 거듭제곱근, 음의 거듭제곱근과 같은 표현은 잘 쓰지 않는 듯하다.</ref>

== [[존재성과 유일성]] ==

심각한 수학책에서는 언제나 정의 바로 다음에 [[존재성과 유일성]]이 등장하나, 중고등학교 때에도 배우는 개념임을 감안하여 여기서 증명한다. 지금 증명할 명제는 아래 명제이다.

<math>a</math>가 '''양의 실수'''이면, 자연수 <math>n \geq 2</math>에 대해 <math>a</math>의 <math>n</math>제곱근이 '''양의 실수''' 중에 유일하게 존재한다.
* 존재성
*: 완비성 공리(공집합이 아닌 실수의 부분집합이 위로 유계이면, 최소상계가 존재한다)를 이용한다.
*: 실수의 부분집합 <math>A=\left\{x|x\geq0,x^n < a\right\}</math>를 생각한다.
*:: [공집합이 아님] <math>0^n=0 < a</math>이므로 <math>0\in A</math>이고, <math>A</math>는 공집합이 아니다.
*:: [위로 유계] <math>\max\left\{a,1\right\}</math>가 상계임을 보인다. 대우명제를 증명하는 것이 간편한데, <math>x > \max\left\{a,1\right\}</math>라고 가정하면 <math>x > a \;\mbox{and}\; x > 1</math>이므로 <math>x^{n-1} > 1</math>이고 <math>x^n > x > a</math>가 되어 원하는 결과를 얻는다.
*: 따라서 최소상계 <math>\sup A=s</math>가 존재한다.
*: 이제 <math>s^n=a</math>임을 보이면 된다.
*:: 만약 <math>s^n \lt a</math>라고 가정하고 <math>k = \frac{\sum_{j=1}^{n} {n \choose j} s^{n-j}}{a - s^n}+1</math>라고 하자. <div class="mw-collapsible mw-collapsed">그러면, <math>s+\frac{1}{k} \in A</math>임을 보일 수 있다.<div class="mw-collapsible-content"><math>\frac{\sum_{j=1}^{n} {n \choose j} s^{n-j}}{a - s^n} \lt k</math>이므로 <math>\frac{\sum_{j=1}^{n} {n \choose j} s^{n-j}}{k} \lt a - s^n</math>이다. 또한 <math>1 \le k</math>이므로 <math>\frac{1}{k} \le 1</math>이다. <br /><math>\begin{align} \left( s+\frac{1}{k} \right)^n&= \sum_{j=0}^{n} {n \choose j}\frac{s^{n-j}}{k^j}\\&=s^n + \frac{1}{k}\sum_{j=1}^{n}{n \choose j} \frac{s^{n-j}}{k^{j-1}}\\&\le s^n + \frac{1}{k} \sum_{j=1}^{n} {n \choose j} s^{n-j} \lt s^n + (a-s^n) = a\end{align}</math>가 되어, <math>s + \frac{1}{k}</math>가 <math>A</math>에 포함된다.</div></div> 이것은 최소상계가 <math>A</math>의 원소보다 작아지므로 <math>\sup A=s</math>라는 것에 모순이다.
*:: 만약<math>s^n \gt a</math>라고 가정하고 <math>k = \max \left\{ \frac{1}{s} , \frac{ns^{n-1}}{s^n-a} \right\}+1</math>이라 하자. <math>\frac{1}{s} \lt k</math>이기 때문에 <math>s-\frac{1}{k}</math>는 양수이다.<div class="mw-collapsible mw-collapsed">그러면, <math>s-\frac{1}{k}</math> 가 <math>A</math>의 상계임을 보일 수 있다.<div class="mw-collapsible-content"><math>-\frac{1}{sk} \gt -1</math>이므로 [[베르누이 부등식]]에 의해 <math>\left( s-\frac{1}{k} \right)^n = \left( 1-\frac{1}{sk} \right)^n s^n \ge \left( 1 - \frac{n}{sk} \right) s^n = s^n - \frac{ns^{n-1}}{k}</math>이다. <math>\frac{ns^{n-1}}{s^n-a} \lt k</math>이므로 <math>s^n - \frac{ns^{n-1}}{k} \gt s^n - (s^n - a) = a</math>이다. 둘을 합치면, 모든 <math>A</math>의 원소 <math>x</math>에 대해 <math>\left( s-\frac{1}{k} \right)^n \gt a \gt x^n</math>이 되어 <math> s-\frac{1}{k}</math>가 <math>A</math>의 상계이다.</div></div> 최소상계보다 더 작은 상계가 있기 때문에 <math>\sup A = s</math>에 모순이다.
*:: 따라서 <math>s^n \gt a</math>도 <math>s^n \lt a</math>도 될 수 없으므로, <math>s^n = a</math>이다.
* 유일성
*: 함수 <math>y=x^n</math>이 양의 실수에서 증가함수임을 이용하면 매우 쉽다.
*: 즉, <math>x < \sqrt[n]{a}</math>이면 <math>x^n < a</math>이고, <math>x > \sqrt[n]{a}</math>이면 <math>x^n > a</math>이므로 유일하다.

근데 여기서 문제가 하나 생기는데, 예를 들어 <math>\sqrt2</math>가 유일하게 존재한다는 것은 알아도, 그 수가 어떤 모양인지는 모른다는 것이다. 물론 계산기를 두들기면 <math>\sqrt2=1.414\cdots</math>라고 뭔가 던져주지만, 이 ‘…’ 부분을 정확히 묘사하지 못하는 한 이는 근삿값에 지나지 않고, 이러한 수를 수학적으로 표현하는 것은 또 다른 문제이다. 이 수를 직접적으로 묘사하는 매우 유용한 표현이 바로 중학교 때 배운 무한소수 표현이며, 이 무한소수는 사실 '''무한급수'''이다. 예를 들면, <math>\sqrt2=1.414\cdots</math>는 사실 수열 <math>\left\{x_n\right\}=\left\{1,\,1.4,\,1.41,\,1.414,\,\cdots\right\}</math>의 수렴값을 나타내는 표현이다. 참고로 저 수열은 위로 유계이고, 단조 증가이기 때문에 반드시 수렴함이 알려져 있다. 이로써 우리는 어떤 수의 (거듭)제곱근이 어느 정도 크기의 수인지 가늠할 수 있게 되었다.

== 복소수의 (거듭)제곱근 ==
한국의 수학 교육과정에선 가르치진 않지만, 복소수의 (거듭)제곱근도 존재한다. 정의는 똑같다 (앞서 (거듭)제곱근을 정의할 때 ‘수’라고만 하고 다른 어떠한 제한도 가하지 않았다). 복소수의 (거듭)제곱근을 공부할 때, [[복소평면]], [[오일러의 공식]], [[드 무아브르의 공식]]을 잘 알고 있다면 많은 도움이 된다.
* [[존재성과 유일성]]
*: 일반적으로 어떤 복소수의 <math>n</math>제곱근은 복소수 범위에서 <math>n</math>개가 존재한다. [[대수학의 기본 정리]]를 쓰면 금방 알 수 있고, 아래 실제 찾는 방법으로도 증명을 갈음할 수 있다.
* 실제로 찾는 방법
** (거듭)제곱근 하나를 찾는 방법
**: (거듭)제곱근을 하나만 찾으면 나머지는 금방 찾을 수 있다. <math>n</math>제곱근을 구하려는 복소수를 극형식으로 <math>\alpha = Ae^{i\theta}</math>와 같이 나타내면, <math>z = \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta}{n}}</math>이 원하는 <math>n</math>제곱근이 된다. 이때 <math>\sqrt[n]{A}</math> 부분은 전술한 양의 실수에서의 거듭제곱근을 찾는 방법을 따른다.
** 나머지 (거듭)제곱근을 찾는 방법
**: 1의 <math>n</math>제곱근(<math>n</math>‐th roots of unity)를 이용한다. 즉, 예를 들어 <math>e^{i\tfrac{2\pi}{n}} = \cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}</math>를 <math>\zeta_n</math>로 놓으면 <math>\zeta_n^n = 1</math>이므로, <math>\alpha</math>의 한 <math>n</math>제곱근 <math>z = \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta}{n}}</math>에 대해 <math>z\zeta_n = \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta}{n}} e^{i\tfrac{2\pi}{n}} = \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta+2\pi}{n}}</math> 역시 <math>\alpha</math>의 <math>n</math>제곱근이 된다(<math>\left( z\zeta_n \right)^n = z^n \zeta_n^n = \alpha \cdot 1 = \alpha</math>).
**: 마찬가지로 생각하면 <math>\alpha</math>의 한 <math>n</math>제곱근을 <math>z</math>라 하면 다음 <math>n</math>개의 복소수
**::: <math>z,\; z\zeta_n,\; \cdots,\; z\zeta_n^{n-1}</math>
**: 가 <math>\alpha</math>의 <math>n</math>제곱근임을 알 수 있고, 극형식으로 나타내면 <math>z = \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta}{n}}</math>에 대해
**::: <math>\sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta}{n}},\, \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta+2\pi}{n}},\, \cdots,\, \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta+2\left(n-1\right)\pi}{n}}</math>
**: 와 같이 됨을 알 수 있다.

== 근삿값 ==
제곱근의 근삿값을 구하는 방법은 여러 가지가 알려져 있다. 이 중 몇 가지를 소개한다.
#[[이분탐색알고리즘]](二分探索algorism) 
#개평법: 나눗셈과 비슷한 방법으로 구하며, 각 자리를 정확하게 구할 수 있지만, 효율이 매우 떨어진다. 자세한 것은 [[Wikipedia:Methods of computing square roots#Digit-by-digit calculation|여기]]를 참조.
#바빌로니아 법: 구하고자 하는 제곱근 값으로 수렴하는 수열을 만들어 근사값을 구한다. 개평법과는 달리 횟수가 적으면 정확도가 떨어지지만, 효율면에선 이쪽이 더 좋다. 자세한 것은 [[위키백과:제곱근#제곱근의 계산|여기]]를 참조.
===이분탐색 알고리즘의 예===
제곱근을 구하는  확률적인 [[알고리즘]]으로는 [[이분탐색알고리즘]](Bisection method)이 있다.<ref>우리말샘 -이분탐색 알고리즘</ref><ref>[참고](Bisection method for root finding)ttps://x-engineer.org/bisection-method/</ref> 구하고자 하는 제곱근의 보다 작은 정수와 보다 큰 정수의 사이의 임의의 중간값 분할에서 <math>x.99999....</math>에  근사값으로 수렴시키므로서 <math>a</math>에 접근하는 방법이다. 
여기서 <math>x</math> 는 <math>\sqrt a </math>의 <math> a\!-\!1</math>이다.
<math>\sqrt 5 </math> 는 다음과 같이 구해진다
우선 구하고자 하는 값의 수렴은 <math>4.9999...</math>이다.
:<math> \sqrt 4   < \sqrt 5 < \sqrt 9 </math>
:<math> 2   < \sqrt 5 < 3 </math>
:<math>2.1^2=4.41  < \sqrt 5^2 <2.5^2= 6.25 </math>
:<math>2.2^2=4.48<\sqrt 5^2<2.3^2=5.29</math>
:<math>2.21^2=4.8841<\sqrt 5^2<2.25^2= 5.0625</math>
:<math>2.22^2=4.9284<\sqrt 5^2<2.23^2=4.9729</math>
:<math>2.235^2=4.995225<\sqrt 5^2<2.239^2=5.013</math>
:<math>2.236^2=4.9996<\sqrt 5^2<2.237^2=5.004169</math>
:<math>2.2362^2=5.0005904<\sqrt 5^2<2.2365^2=5.0019322</math>
:<math>2.2360^2=4.99969<\sqrt 5^2<2.2361^2=5.0001432</math>
:<math>  2.23605^2=4.999919602 <\sqrt   5^2  <  2.23609^2= 5.000098488</math>
:<math>\sqrt 5 =  2.23605...</math>

== 계산기에서의 제곱근 ==
대부분의 실물 [[계산기]]에는 제곱근이 탑재되어 있다. 공학용이 아닌 일반적인 계산기에서는 제곱근만 구할 수 있으며, 공학용 계산기를 이용하면 거듭제곱근도 구할 수 있다.

==분수==
제곱근을 '어떤 수 a를 두 번 곱하여 x가 되었을 때에, a를 x에 대하여 이르는 말. 하나의 수에 대하여 그 제곱근은 양수와 음수 두 개가 있으나 보통 양수를 택한다.'라고 가정해볼때
:<math> a^2 =x   </math>
:<math> \sqrt{a^2 }=  \sqrt{x}   </math>
:<math> a =  \sqrt{x}   </math> 
한편 
:<math> a^{2 \cdot {{1}\over{2}} } =x ^{ {{1}\over{2}} }  </math>
:<math> a =x ^{ {{1}\over{2}} }  </math>
이 가정으로부터 어떤 수 a를 n 번 곱하여 x가 되었을 때를 조사하면
:<math> a^{n \cdot {{1}\over{n}} } =x ^{ {{1}\over{n}} }  </math>
:<math> a =x ^{ {{1}\over{n}} }  </math>
:<math>a</math>는 <math>x</math>에 대하여 <math>n</math>의 [[역수]](reciprocal) 배{거듭제곱}와 관련있음을 확인할수있다.

{{각주}}
[[분류:산술]]