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== 정의 == | == 정의 == | ||
[[군 (수학)|군]] ''G''의 부분군을 ''N''이라고 하자. 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 | [[군 (수학)|군]] ''G''의 부분군을 ''N''이라고 하자. 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 | ||
: <math>gN=Ng</math> | : <math>gN=Ng</math> | ||
면 ''N''을 ''G''의 '''정규부분군(Normal subgroup)'''이라 하고 <math> | 면 ''N''을 ''G''의 '''정규부분군(Normal subgroup)'''이라 하고 <math>N\triangleleft G</math>로 표기한다. 이때 <math>gN,Ng</math>는 각각 ''N''의 좌잉여류(left coset)와 우잉여류(right coset)를 나타낸다. 이 정의는 임의의 <math>n\in N</math>에 대해서 <math>gn=ng</math>임을 뜻하는 것이 절대 아니다! | ||
다음 [[명제]]는 서로 동치이다. | 다음 [[명제]]는 서로 동치이다. | ||
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== 예시 == | == 예시 == | ||
* 아벨군의 경우에는 교환법칙이 성립하므로 모든 부분군이 정규부분군이다. | * 아벨군의 경우에는 교환법칙이 성립하므로 모든 부분군이 정규부분군이다. | ||
* <math>\{e\} \ | * <math>\{e\} \triangleleft G, \; G \triangleleft G</math>. 만약 <math>G</math>의 정규부분군이 <math>\{e\}</math>와 <math>G</math>뿐이면 <math>G</math>를 [[단순군]](simple group)이라 한다. | ||
* <math>\operatorname {SL}(V)\ | * <math>\operatorname {SL}(V)\triangleleft\operatorname {GL}(V), \; \operatorname {SO}(n)\triangleleft\operatorname {O}(n), \; \operatorname {SU}(n)\triangleleft\operatorname {U}(n)</math> | ||
* <math>A_n \ | * <math>A_n \triangleleft S_n</math> <ref>''n''이 1보다 클 때에는 지표가 2이기 때문이다. 물론 ker sgn이기 때문이라고 이해해도 된다.</ref> | ||
== 성질 == | == 성질 == | ||
* 정규부분군의 정규부분군은 정규부분군이 '''아니다'''.<ref>예를 들어 {(12)(34)}⊴''V''<sub>4</sub>⊴''A''<sub>4</sub>이지만 {(12)(34)}가 ''A''<sub>4</sub>의 정규부분군인 것은 아니다.</ref> | * 정규부분군의 정규부분군은 정규부분군이 '''아니다'''.<ref>예를 들어 {(12)(34)}⊴''V''<sub>4</sub>⊴''A''<sub>4</sub>이지만 {(12)(34)}가 ''A''<sub>4</sub>의 정규부분군인 것은 아니다.</ref> | ||
** 그러나, <math>N\le H\le G</math>이고 <math>N\ | ** 그러나, <math>N\le H\le G</math>이고 <math>N\triangleleft G</math>이면 <math>N\triangleleft H</math>이다.<ref>증명: 임의의 ''g''∈''G''에 대해 ''gN''=''Ng''이므로 임의의 ''g''∈''H''에 대해서도 당연히 ''gN''=''Ng''이다.</ref> | ||
* 정규부분군의 교집합은 정규부분군이다. 즉, ''N''과 ''K''가 ''G''의 정규부분군이면, <math>N\cap K</math>는 ''G''의 정규부분군이다.<ref>증명: 임의의 ''g''∈''G'' 및 ''x''∈''N''∩''K''에 대해 ''gxg''<sup>−1</sup>를 생각하면, 이는 ''N''이 정규부분군이므로 ''N''에 속하고, ''K''가 정규부분군이므로 ''K''에도 속한다. 따라서 ''gxg''<sup>−1</sup>∈''N''∩''K''.</ref> | * 정규부분군의 교집합은 정규부분군이다. 즉, ''N''과 ''K''가 ''G''의 정규부분군이면, <math>N\cap K</math>는 ''G''의 정규부분군이다.<ref>증명: 임의의 ''g''∈''G'' 및 ''x''∈''N''∩''K''에 대해 ''gxg''<sup>−1</sup>를 생각하면, 이는 ''N''이 정규부분군이므로 ''N''에 속하고, ''K''가 정규부분군이므로 ''K''에도 속한다. 따라서 ''gxg''<sup>−1</sup>∈''N''∩''K''.</ref> | ||
* ''N''과 ''K''가 ''G''의 정규부분군이면, 집합 <math>NK=\{nk\vert n\in N \text{ and } k\in K\}</math><ref>이와 달리 ''H''와 ''K''가 단순히 ''G''의 부분군이기만 한 경우에는 집합 <math>HK=\{hk\vert h\in H \text{ and } k\in K\}</math>는 부분군조차 되지 못할 수도 있음에 유의하여야 한다.</ref>는 ''G''의 정규부분군이다. | * ''N''과 ''K''가 ''G''의 정규부분군이면, 집합 <math>NK=\{nk\vert n\in N \text{ and } k\in K\}</math><ref>이와 달리 ''H''와 ''K''가 단순히 ''G''의 부분군이기만 한 경우에는 집합 <math>HK=\{hk\vert h\in H \text{ and } k\in K\}</math>는 부분군조차 되지 못할 수도 있음에 유의하여야 한다.</ref>는 ''G''의 정규부분군이다. | ||