유리근 정리 편집하기

[[분류:대수학]]
{{학술}}

[[대수학]]에서 '''유리근 정리'''(rational root theorem)는 정수계수 다항식의 유리근의 조건을 제한할 수 있는 정리이다.

== 진술 ==
정수계수 다항식 <math>P(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i \in \mathbb Z [x]</math>이 유리근 <math>x=\frac q p \; (\operatorname{gcd}(p,q)=1)</math>을 가지면 <math>p|a_n \text{ and } \; q|a_0</math>이다. 즉, 어떤 다항식이 유리근을 가지면 그는 상수항의 약수 중 하나를 최고차항의 약수 중 하나로 나눈 것이다.

이와 대우로, 상수항의 약수 중 하나를 최고차항의 약수 중 하나로 나눈 것이 주어진 정수계수 다항식의 근이 모두 아닐 때 그 다항방정식은 유리근을 갖지 않는다.

== 증명 ==
[[나머지 정리]]에 의하여 
:<math>P \left(\frac{q}{p}\right) = 0</math><br/><math>p^nP\left(\frac{q}{p}\right) =p^n\sum_{i=0}^n a_i\left(\frac{q}{p}\right) ^i = \sum_{i=0}^n a_ip^{n-i}q^i  =0 .</math>
이다. 여기서 <math>a_nq^n</math> 항만 남기고 모두 이항하면
:<math>a_nq^n = -p \left(\sum_{i=0}^{n-1} a_i p^{n-i-1} q^i \right)</math>
이고, <math>p</math>와 <math>q</math>가 서로소이므로 <math>p\mid a_n</math>이다. 같은 방법으로 <math>q\mid a_0</math>이다. □
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 [[분류:대수학]]
-[[분류:수학 정리]]
+{{학술}}
 [[대수학]]에서 '''유리근 정리'''(rational root theorem)는 정수계수 다항식의 유리근의 조건을 제한할 수 있는 정리이다.
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 == 증명 ==
 [[나머지 정리]]에 의하여
-:<math>P \left(\frac{q}{p}\right) = 0</math><br /><math>p^nP\left(\frac{q}{p}\right) =p^n\sum_{i=0}^n a_i\left(\frac{q}{p}\right) ^i = \sum_{i=0}^n a_ip^{n-i}q^i  =0 .</math>
+:<math>P \left(\frac{q}{p}\right) = 0</math><br/><math>p^nP\left(\frac{q}{p}\right) =p^n\sum_{i=0}^n a_i\left(\frac{q}{p}\right) ^i = \sum_{i=0}^n a_ip^{n-i}q^i  =0 .</math>
 이다. 여기서 <math>a_nq^n</math> 항만 남기고 모두 이항하면
 :<math>a_nq^n = -p \left(\sum_{i=0}^{n-1} a_i p^{n-i-1} q^i \right)</math>
 이고, <math>p</math>와 <math>q</math>가 서로소이므로 <math>p\mid a_n</math>이다. 같은 방법으로 <math>q\mid a_0</math>이다. □
-== 이용 ==
-어떤 수의 무리수성을 증명할 수도 있다. 예를 들어, <math>\alpha = \sqrt 2 + \sqrt[3]{3}</math>의 무리수성을 판정해보자. 이 수를 근으로 가지는 다항식을 하나 생각해보면,
-:<math> (\alpha - \sqrt 2 )^3 = 3,</math>
-:<math> \alpha ^3 + 6\alpha- 3 = \sqrt 2 (3\alpha^2 + 2), </math>
-: 제곱하여 정리하면
-:<math>\alpha ^6 -6\alpha^4 - \cdots +1 = 0</math>.
-즉 유리근의 후보는 1, -1이므로, 주어진 근은 유리근이 아니고, <math>\alpha</math>은 무리수이다.