유리근 정리

대수학에서 유리근 정리(rational root theorem)는 정수계수 다항식의 유리근의 조건을 제한할 수 있는 정리이다.

진술

정수계수 다항식 [math]\displaystyle{ P(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i \in \mathbb Z [x] }[/math]이 유리근 [math]\displaystyle{ x=\frac q p \; (\operatorname{gcd}(p,q)=1) }[/math]을 가지면 [math]\displaystyle{ p|a_n \text{ and } \; q|a_0 }[/math]이다. 즉, 어떤 다항식이 유리근을 가지면 그는 상수항의 약수 중 하나를 최고차항의 약수 중 하나로 나눈 것이다.

이와 대우로, 상수항의 약수 중 하나를 최고차항의 약수 중 하나로 나눈 것이 주어진 정수계수 다항식의 근이 모두 아닐 때 그 다항방정식은 유리근을 갖지 않는다.

증명

나머지 정리에 의하여

[math]\displaystyle{ P \left(\frac{q}{p}\right) = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ p^nP\left(\frac{q}{p}\right) =p^n\sum_{i=0}^n a_i\left(\frac{q}{p}\right) ^i = \sum_{i=0}^n a_ip^{n-i}q^i =0 . }[/math]

이다. 여기서 [math]\displaystyle{ a_nq^n }[/math] 항만 남기고 모두 이항하면

[math]\displaystyle{ a_nq^n = -p \left(\sum_{i=0}^{n-1} a_i p^{n-i-1} q^i \right) }[/math]

이고, [math]\displaystyle{ p }[/math]와 [math]\displaystyle{ q }[/math]가 서로소이므로 [math]\displaystyle{ p\mid a_n }[/math]이다. 같은 방법으로 [math]\displaystyle{ q\mid a_0 }[/math]이다. □

이용

어떤 수의 무리수성을 증명할 수도 있다. 예를 들어, [math]\displaystyle{ \alpha = \sqrt 2 + \sqrt[3]{3} }[/math]의 무리수성을 판정해보자. 이 수를 근으로 가지는 다항식을 하나 생각해보면,

[math]\displaystyle{ (\alpha - \sqrt 2 )^3 = 3, }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha ^3 + 6\alpha- 3 = \sqrt 2 (3\alpha^2 + 2), }[/math]

제곱하여 정리하면

[math]\displaystyle{ \alpha ^6 -6\alpha^4 - \cdots +1 = 0 }[/math].

즉 유리근의 후보는 1, -1이므로, 주어진 근은 유리근이 아니고, [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]은 무리수이다.