로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!== 개요 == '''완전대각방진'''(Pandiagonal Magic Square)는 [[마방진]] 중에서 기본적인 대각선 뿐만 아니라 그 대각선과 평행한 대각선들 상의 원소의 합도 모두 동일한 마방진을 의미한다. == 완전대각방진 만들기 == 참고로 변의 칸의 개수가 3개이거나 4n+2꼴일 때에는 만들 수 없다. === 한 변의 개수가 6n±1개인 경우 === {{참고|마방진#홀수 방진}} [[마방진]] 문서의 홀수 마방진을 만드는 방법을 일반화하는 방법을 이용해서 완전대각방진을 만들 수 있다. 일단 이변수 함수 <br />''T'':{1,..,n}×{1,...,n} → {1,2,...,n<sup>2</sup>} , T(a,b)=(a-1)n+b<br /> 형태로 잡는다. 그러면 T는 일대일 대응인 것을 쉽게 보일 수 있다. 우선 홀수방진은 정가운데 칸 (즉 (n+1)/2열 (n+1)/2행)이 존재한다. 이곳에 ''k''=(n<sup>2</sup>+1)/2=T((n+1)/2, (n+1)/2)를 집어넣는다. 그 다음에 2줄/1칸 위, 즉 날 일자(日), 혹은 체스의 나이트(knight) 행마와 유사한 형태로 k+1=T((n+1)/2,(n+3)/2)을, 반대로 2줄/1칸 아래 방향으로는 k-1=T((n+1)/2,(n-1)/2)를 집어넣는다. 아래의 그림을 참조하자. [[파일:Magic Square Odd1.png]] 위의 마방진 채우듯 맨 윗줄을 넘길 경우 맨 아랫줄로 넘기고, 맨 오른쪽 칸을 넘길 경우 맨 왼쪽 칸으로 숫자를 옮긴다. 이와 마찬가지 방법으로 k-(n-1)/2=T((n+1)/2,1) 부터 k+(n-1)/2 = T((n+1)/2, n)까지 채운다. 그 다음에 k-(n-1)/2+1=T((n-1)/2,n)은 k-(n-1)/2=T((n+1)/2,1)의 1칸 오른쪽/1칸 아래에, k+(n+1)/2=T((n+3)/2, 1)은 k+(n-1)/2 = T((n+1)/2,n)의 1칸 왼쪽/1칸 위에 적는다. 역시 아래의 그림을 참조하자. 이와 같은 방법으로 T(a,k), k=1,...n이 완성되었을 때 T(a,k)의 1칸 왼쪽/1칸 위에 T(a+1, k+1) (k=n이면 k+1은 1로 간주), T(a,k)의 1칸 오른쪽/1칸 아래에 T(a-1,k-1) (k=1이면 k-1=n으로 간주)가 적힌다. [[파일:Magic Square Odd2.png]] 이러한 방법으로 1=T(1,1)부터 n<sup>2</sup>=T(n,n)까지 채울 수 있다. 여기서 위의 그림처럼 T(a,b)와 T(a,b+1)의 간격이 가로/세로 모두 n과 서로소이고, T(a,n)에서 T(a+1,1)의 이동간격도 가로/세로가 모두 n과 서로소이면서 두 개의 이동간격이 서로 겹치지 않을 때 마방진이 형성된다. 왜냐하면 각 마방진에서 T<sup>-1</sup>(n)∈[n]×[n]을 고려하면 격자점의 집합 {(k,l)}은 같은 행/같은 열에서 k값과 l값이 일치할 수 없기 때문이다. 즉 i 또는 j 중 하나가 고정되고 나머지 변수로 움직인다고 가정할 때 집합 <br /> {T<sup>-1</sup>(X<sub>ij</sub>)=(a<sub>i1</sub>,b<sub>ij</sub>)}<br /> 는 h≠i일 때 a<sub>ij</sub>≠a<sub>hj</sub>, b<sub>ij</sub>≠b<sub>hj</sub>, k≠j일 때 a<sub>ij</sub>≠a<sub>ik</sub>, b<sub>ij</sub>≠b<sub>ik</sub>임을 통해 각각 [n]*[n]상에서 같은 행/열에 2개 이상의 원소가 존재하지 않는 n개의 격자점의 배열이 된다. 특히 위의 방식을 이용해 유도된 마방진은 n=6a+3 형태가 아닐 때(즉 6a±1 형태일 때) 완전대각방진(Panmagic Square)을 이룬다. 가로, 세로 대각선 모두 5×5 예제와 7×7 예제를 살펴보자. {|class="wikitable" |+ 5×5 완전대각방진 |- | 25 || 3 || 6 || 14 || 17 |- | 11 || 19 || 22 || 5 || 8 |- | 2 || 10 || 13 || 16 || 24 |- | 18 || 21 || 4 || 7 || 15 |- | 9 || 12 || 20 || 23 || 1 |} {|class="wikitable" |+ 7×7 완전대각방진 |- | 49 || 23 || 4 || 34 || 8 || 38 || 19 |- | 11 || 41 || 15 || 45 || 26 || 7 || 30 |- | 22 || 3 || 33 || 14 || 37 || 18 || 48 |- | 40 || 21 || 44 || 25 || 6 || 29 || 10 |- | 2 || 32 || 13 || 36 || 17 || 47 || 28 |- | 20 || 43 || 24 || 5 || 35 || 9 || 39 |- | 31 || 12 || 42 || 16 || 46 || 27 || 1 |} === 한 변의 개수가 6n+3개인 경우 === (6n+3)*(6n+3) 완전대각방진은 위와 같은 방법으로 만들 수 없다. 고로 아래와 같은 방법을 사용해야 한다. * 우선 왼쪽 위의 (2n+1)×3 형태의 사각형 안에 1부터 6n+3까지의 자연수를 채운다. 여기서 주의할 점은 3개의 열은 모두 원소의 합이 동일해야 한다는 것이다. 아래와 같이 만들 수 있다. Examples: {| class="wikitable" || <center>For 9×9 square {| class="wikitable" || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> |- || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> |- || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> |} vertical sum = 15</center> || <center>For 15×15 square {| class="wikitable" || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> |- || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> |- || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> |- || <center> 10 </center> || <center> 11 </center> || <center> 12 </center> |- || <center> 15 </center> || <center> 14 </center> || <center> 13 </center> |} vertical sum = 40</center> || <center>For 21×21 square {| class="wikitable" || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> |- || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> |- || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> |- || 10 || 11 || 12 |- || 15 || 14 || 13 |- || 16 || 17 || 18 |- || 21 || 20 || 19 |} vertical sum = 77 </center> |} * 아래의 2n+1×3 패턴을 각각 2개씩 복사해서 아랫줄을 채운다. Example: {| class="wikitable" || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || || || || || || |- || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || || || || || || |- || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || || || || || || |- || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || || || || || || |- || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || || || || || || |- || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || || || || || || |- || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || || || || || || |- || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || || || || || || |- || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || || || || || || |} * 다음 오른쪽 3열에 왼쪽의 패턴을 복사한다. 단 왼쪽의 숫자 패턴을 그대로 복사하지 말고, 한 줄씩 아래로 내려야 한다. Example: {| class="wikitable" || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || || || |- || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || || || |- || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || || || |- || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || || || |- || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || || || |- || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || || || |- || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || || || |- || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || || || |- || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || || || |} * 마찬가지로 다음 오른쪽 3열에 바로 왼쪽의 3열 패턴을 한 열씩 내린 상태로 복사한다. 이런 식으로 행렬을 채울 경우 한 행에 1부터 6n+3까지 하나씩 들어가게 된다. Example: {| class="wikitable" || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> |- || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> |- || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> |- || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> |- || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> |- || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> |- || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> |- || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> |- || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> |} * 위에서 생성한 행렬의 전치행렬(transpose)을 만든다. 즉, 위의 행렬에서 (i,i)로 구성된 대각선을 기준으로 원소를 뒤집는 행렬을 만든다. Example: {| class="wikitable" || A {| class="wikitable" || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> |- || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> |- || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> |- || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> |- || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> |- || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> |- || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> |- || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> |- || <center> 9 </center> || <center> 7 </center> || <center> 8 </center> || <center> 5 </center> || <center> 6 </center> || <center> 4 </center> || <center> 1 </center> || <center> 2 </center> || <center> 3 </center> |} || A<sup>T</sup> {| class="wikitable" || <center> 1 </center> || <center> 5 </center> || <center> 9 </center> || <center> 1 </center> || <center> 5 </center> || <center> 9 </center> || <center> 1 </center> || <center> 5 </center> || <center> 9 </center> |- || <center> 2 </center> || <center> 6 </center> || <center> 7 </center> || <center> 2 </center> || <center> 6 </center> || <center> 7 </center> || <center> 2 </center> || <center> 6 </center> || <center> 7 </center> |- || <center> 3 </center> || <center> 4 </center> || <center> 8 </center> || <center> 3 </center> || <center> 4 </center> || <center> 8 </center> || <center> 3 </center> || <center> 4 </center> || <center> 8 </center> |- || <center> 9 </center> || <center> 1 </center> || <center> 5 </center> || <center> 9 </center> || <center> 1 </center> || <center> 5 </center> || <center> 9 </center> || <center> 1 </center> || <center> 5 </center> |- || <center> 7 </center> || <center> 2 </center> || <center> 6 </center> || <center> 7 </center> || <center> 2 </center> || <center> 6 </center> || <center> 7 </center> || <center> 2 </center> || <center> 6 </center> |- || <center> 8 </center> || <center> 3 </center> || <center> 4 </center> || <center> 8 </center> || <center> 3 </center> || <center> 4 </center> || <center> 8 </center> || <center> 3 </center> || <center> 4 </center> |- || <center> 5 </center> || <center> 9 </center> || <center> 1 </center> || <center> 5 </center> || <center> 9 </center> || <center> 1 </center> || <center> 5 </center> || <center> 9 </center> || <center> 1 </center> |- || <center> 6 </center> || <center> 7 </center> || <center> 2 </center> || <center> 6 </center> || <center> 7 </center> || <center> 2 </center> || <center> 6 </center> || <center> 7 </center> || <center> 2 </center> |- || <center> 4 </center> || <center> 8 </center> || <center> 3 </center> || <center> 4 </center> || <center> 8 </center> || <center> 3 </center> || <center> 4 </center> || <center> 8 </center> || <center> 3 </center> |} |} * 마지막으로 행렬은 A의 원소와 (B의 원소-1)에 (6n+3)배를 더하면 된다. 이 행렬은 완전대각행렬이 된다. Example: A + (6n+3)×A<sup>T</sup> – (6n+3) {| class="wikitable" || <center> 1 </center> || <center> 38 </center> || <center> 75 </center> || <center> 9 </center> || <center> 43 </center> || <center> 80 </center> || <center> 5 </center> || <center> 42 </center> || <center> 76 </center> |- || <center> 14 </center> || <center> 51 </center> || <center> 58 </center> || <center> 10 </center> || <center> 47 </center> || <center> 57 </center> || <center> 18 </center> || <center> 52 </center> || <center> 62 </center> |- || <center> 27 </center> || <center> 34 </center> || <center> 71 </center> || <center> 23 </center> || <center> 33 </center> || <center> 67 </center> || <center> 19 </center> || <center> 29 </center> || <center> 66 </center> |- || <center> 73 </center> || <center> 2 </center> || <center> 39 </center> || <center> 81 </center> || <center> 7 </center> || <center> 44 </center> || <center> 77 </center> || <center> 6 </center> || <center> 40 </center> |- || <center> 59 </center> || <center> 15 </center> || <center> 49 </center> || <center> 55 </center> || <center> 11 </center> || <center> 48 </center> || <center> 63 </center> || <center> 16 </center> || <center> 53 </center> |- || <center> 72 </center> || <center> 25 </center> || <center> 35 </center> || <center> 68 </center> || <center> 24 </center> || <center> 31 </center> || <center> 64 </center> || <center> 20 </center> || <center> 30 </center> |- || <center> 37 </center> || <center> 74 </center> || <center> 3 </center> || <center> 45 </center> || <center> 79 </center> || <center> 8 </center> || <center> 41 </center> || <center> 78 </center> || <center> 4 </center> |- || <center> 50 </center> || <center> 60 </center> || <center> 13 </center> || <center> 46 </center> || <center> 56 </center> || <center> 12 </center> || <center> 54 </center> || <center> 61 </center> || <center> 17 </center> |- || <center> 36 </center> || <center> 70 </center> || <center> 26 </center> || <center> 32 </center> || <center> 69 </center> || <center> 22 </center> || <center> 28 </center> || <center> 65 </center> || <center> 21 </center> |} === 한 변의 개수가 4n개인 경우 === {{참고|마방진#4n형태}} * 첫번째 줄, 1부터 2n열까지 1부터 2n까지 1씩 올려서 숫자를 채운다. {| class="wikitable" |- | 1 || 2 || 3 || 4 || || || || |- | || || || || || || || |- | || || || || || || || |- | || || || || || || || |- | || || || || || || || |- | || || || || || || || |- | || || || || || || || |- | || || || || || || || |} *숫자를 채운 줄 아래에 2n+1부터 4n까지 숫자를 채운다. 여기서 숫자를 적은 열의 두 원소의 합은 정확히 4n+1이 되어야 한다. Example: {| class="wikitable" |- | 1 || 2 || 3 || 4 || || || || |- | 8 || 7 || 6 || 5 || || || || |- | || || || || || || || |- | || || || || || || || |- | || || || || || || || |- | || || || || || || || |- | || || || || || || || |- | || || || || || || || |} *1/2행의 숫자를 적은 패턴대로 아래처럼 아랫쪽 행에도 2n개씩 복사한다. 모든 행, 2n까지의 열을 채운다. Example: {| class="wikitable" |- | 1 || 2 || 3 || 4 || || || || |- | 8 || 7 || 6 || 5 || || || || |- | 1 || 2 || 3 || 4 || || || || |- | 8 || 7 || 6 || 5 || || || || |- | 1 || 2 || 3 || 4 || || || || |- | 8 || 7 || 6 || 5 || || || || |- | 1 || 2 || 3 || 4 || || || || |- | 8 || 7 || 6 || 5 || || || || |} * 역시 왼쪽 반을 채운 패턴대로 오른쪽 절반도 채운다. 다만 여기서는 각 행/열의 합을 맞추기 위해 왼쪽의 패턴과는 행이 하나씩 어긋나게 채워야 한다. Example: {| class="wikitable" |- | 1 || 2 || 3 || 4 || 8 || 7 || 6 || 5 |- | 8 || 7 || 6 || 5 || 1 || 2 || 3 || 4 |- | 1 || 2 || 3 || 4 || 8 || 7 || 6 || 5 |- | 8 || 7 || 6 || 5 || 1 || 2 || 3 || 4 |- | 1 || 2 || 3 || 4 || 8 || 7 || 6 || 5 |- | 8 || 7 || 6 || 5 || 1 || 2 || 3 || 4 |- | 1 || 2 || 3 || 4 || 8 || 7 || 6 || 5 |- | 8 || 7 || 6 || 5 || 1 || 2 || 3 || 4 |} * 이제 두 번째 4n*4n 행렬은 첫 번째 4n*4n행렬을 왼쪽으로 90도 회전한 형태로 만든다. {| class="wikitable" |- | Square A {| class="wikitable" |- | 1 || 2 || 3 || 4 || 8 || 7 || 6 || 5 |- | 8 || 7 || 6 || 5 || 1 || 2 || 3 || 4 |- | 1 || 2 || 3 || 4 || 8 || 7 || 6 || 5 |- | 8 || 7 || 6 || 5 || 1 || 2 || 3 || 4 |- | 1 || 2 || 3 || 4 || 8 || 7 || 6 || 5 |- | 8 || 7 || 6 || 5 || 1 || 2 || 3 || 4 |- | 1 || 2 || 3 || 4 || 8 || 7 || 6 || 5 |- | 8 || 7 || 6 || 5 || 1 || 2 || 3 || 4 |} | Square B {| class="wikitable" |- | 5 || 4 || 5 || 4 || 5 || 4 || 5 || 4 |- | 6 || 3 || 6 || 3 || 6 || 3 || 6 || 3 |- | 7 || 2 || 7 || 2 || 7 || 2 || 7 || 2 |- | 8 || 1 || 8 || 1 || 8 || 1 || 8 || 1 |- | 4 || 5 || 4 || 5 || 4 || 5 || 4 || 5 |- | 3 || 6 || 3 || 6 || 3 || 6 || 3 || 6 |- | 2 || 7 || 2 || 7 || 2 || 7 || 2 || 7 |- | 1 || 8 || 1 || 8 || 1 || 8 || 1 || 8 |} |} * 이제 첫 번째 행렬 A의 숫자와 두 번째 행렬 B의 원소에서 1을 뺀 뒤에 4n을 곱한 숫자를 더한다. 그러면 완전대각행렬이 완성된다. Example: A + 4n×B - 4n {| class="wikitable" |- | 33 || 26 || 35 || 28 || 40 || 31 || 38 || 29 |- | 48 || 23 || 46 || 21 || 41 || 18 || 43 || 20 |- | 49 || 10 || 51 || 12 || 56 || 15 || 54 || 13 |- | 64 || 7 || 62 || 5 || 57 || 2 || 59 || 4 |- | 25 || 34 || 27 || 36 || 32 || 39 || 30 || 37 |- | 24 || 47 || 22 || 45 || 17 || 42 || 19 || 44 |- | 9 || 50 || 11 || 52 || 16 || 55 || 14 || 53 |- | 8 || 63 || 6 || 61 || 1 || 58 || 3 || 60 |} * 이것이 완전대각행렬임을 보이는 방법은 다음과 같다. ** 우선 첫 번째 정사각행렬 A는 가로줄이 1~4n까지 하나씩 들어가 있음을 알 수 있다. ** 또한 첫 번째 정사각행렬 A는 세로줄에서는 {1,4n}, {2,4n-1},... {2n,2n+1} 패턴이 2n번 반복하는 것을 알 수 있으며, 역시 각 세로줄의 원소의 합은 4n(4n+1)/2가 되는 것을 알 수 있다. ** ↘ 방향 대각선의 경우에는(홀줄/짝줄) 왼쪽 절반의 원소는 인접한 두 원소의 합이 4n, 오른쪽 절반의 원소는 인접한 두 원소의 합이 4n+2가 된다. 미묘하게 {2n,1}이 엮인 경우가 생길 수 있으나 계속 내려가다 보면 {2n+1, 4n}이 엮이는 경우가 하나 더 생긴다. 따라서 대각선의 합은 모두 동일하게 된다. 이는 ↙ 방향 대각선의 경우도 마찬가지. ** 따라서 행렬 A는 가로/세로/대각선 상의 원소의 합이 모두 동일하다. 마찬가지로 행렬 B는 A의 회전으로 인해 만들어진 패턴이므로 가로/세로/대각선 상의 원소의 합이 동일함을 알 수 있다. ** 이제 A 상에서 k값을 가진 좌표가 B 상에서는 {1,2,...,4n}과 하나씩 상응함을 보이면 된다. 우선 A상에서 값을 t(t≤2n)로 하는 좌표는 (1,t),(2,2n+t),(3,t),...,(2k-1,t),(2k,2n+t),...,(4n-1,t),(4n,2n+t)가 된다. 그러나 B(a,b)=A(4n+1-a)이므로 B(2k-1,t)=A(4n+1-t,2k-1)=A(2n+1-t,2k-1), B(2k,2n+t)=A(2n+1-t,2k)가 된다. 즉, k=1,..,2n까지 움직일 경우 행 2n+1-t상의 모든 값을 생성할 수 있으며, 이는 1부터 4n까지의 모든 원소를 채우게 된다는 것을 알 수 있다. {{문서 가져옴|마방진|409765}} {{번역된 문서|en|Pandiagonal Magic Square|일부}} [[분류:마방진]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:가져옴 (원본 보기) (준보호됨)틀:광고제거 (원본 보기) (보호됨)틀:문서 가져옴 (원본 보기) (준보호됨)틀:번역된 문서 (원본 보기) (준보호됨)틀:알림바 (원본 보기) (보호됨)틀:언어 이름 (편집) 틀:참고 (원본 보기) (준보호됨)이 문서는 다음의 숨은 분류 2개에 속해 있습니다: 분류:번역된 문서 분류:애드센스 제외 문서