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| === 평행선 === | | === 평행선 === |
| 쌍곡 기하학과 다른 기하학을 구분하는 것 중 하나가 바로 평행선이다. 한 직선(측지선)과 다른 점이 주어졌을 때, 직선에 평행하면서 주어진 점을 지나는 선이 [[유클리드 기하학]]에서는 유일하고, [[타원 기하학]]에서는 없다. 조건을 만족하는 선이 2개 이상이면 쌍곡 기하학이 되는데, 힐베르트 평면에서 직접 그려보면서 찾아보면 2개가 아니라 무한히 많다는 사실을 쉽게 알 수 있다.<ref>[[GSP]]나 [[지오지브라]]를 쓴다면 더 직관적으로 확인할 수 있다.</ref> 참고로 두 측지선이 힐베르트 평면 내에서 교점을 가지지만 않으면 평행한 것으로 간주하므로 유클리드 기하학에서의 평행선을 생각하면 곤란하다. 하나 예를 들면, 이상 삼각형의 세 변은 전부 평행하다. 교점이 있긴 있지만, 힐베르트 평면 내부가 아닌 경계선에 존재하기 때문에 무효로 처리.
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| 한편, <math>\partial\mathbb{H}^2</math>에서 조차도 교점을 가지지 않는 두 평행선을 '''초평행(Ultraparallel)'''하다고 한다. 초평행한 두 측지선은 독특한 성질을 하나 갖는데, 바로 두 측지선에 동시에 직교하는 측지선이 유일하다는 것이다. [[유클리드 기하학]]에서 평행한 두 직선에 동시에 수직인 직선이 무한한 것과는 대조적. 만약 두 측지선이 <math>\partial\mathbb{H}^2</math>에서 교점을 가지면 두 측지선에 동시에 직교하는 측지선은 존재하지 않는다. 이제 이 사실을 증명하자.
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| ;정리 (초평행 정리)
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| {{인용문2|초평행한 두 측지선에 동시에 직교하는 측지선은 유일하다. 만약 두 측지선이 초평행하지 않다면, 두 측지선에 동시에 직교하는 측지선은 존재하지 않는다.}}
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| {{숨기기|증명|
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| 우선 두 측지선이 초평행하다고 가정하자. 그럼 두 가지 가능성이 존재한다.
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| #한 측지선이 수직선, 다른 측지선은 반원
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| #:일반성을 잃지 않고 수직선은 허수축으로, 다른 축지선(<math>L</math>이라 부르자)은 양 끝점이 1과 <math>p \left(p>1\right)</math>라고 가정하자. 허수축에 수직인 측지선은 0을 중심으로 하는 반원이다(<math>M</math>이라 부르자). 이제 <math>M</math>의 유클리드 반지름을 <math>R</math>이라 하고, <math>L</math>과 직교한다고 가정하자. 그러면 0, 반원 <math>L</math>의 중심, <math>L,M</math>의 교점을 세 꼭짓점으로 하는 유클리드 삼각형은 교점에서 직각을 가지는 [[직각삼각형]]이다. 그러면 [[피타고라스 정리]]에 의해, <math>R^2+\left(\frac{p-1}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2</math>이고, 이를 풀면 <math>R=\frac{\sqrt{2p-1}}{2}</math>이다. 이 값은 유일하므로, <math>M</math>은 유일하다.
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| #두 측지선 모두 반원
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| #:두 측지선의 끝점을 각각 <math>p,q</math>와 <math>r,s</math>라 부르자(<math>p< q< r< s</math>). 적당한 뫼비우스 변환이 존재하여, <math>p\mapsto0,q\mapsto\infty,r\mapsto1,s\mapsto s' \left(s'>1\right)</math>이 가능하다. 그러면 1번 케이스에 의해 증명이 끝났다.
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| 이제 두 측지선이 초평행하지 않다고 가정하자. 그럼 세 가지 가능성이 존재한다.
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| #두 측지선 모두 수직선 (교점이 없는 것 처럼 보이지만, 사실 <math>\infty</math>에서 교차한다)
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| #:일반성을 잃지 않고 한 수직선을 허수축이라 가정하자. 허수축에 수직인 측지선은 0이 중심인 반원인데, 반원과 다른 수직선은 반드시 직각보다 작은 각도로 교차한다. 따라서 두 측지선에 동시에 직교하는 측지선은 존재하지 않는다.
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| #한 측지선이 수직선, 다른 측지선은 반원
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| #:두 측지선의 교점과 <math>\infty</math>를 교환하는 뫼비우스 변환을 생각해주자. 그럼 수직선은 그대로 남고(실제론 위아래가 뒤집힌 상태), 반원은 다른 수직선으로 변한다. 그러면 1번 케이스에 의해 증명이 끝났다.
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| #두 측지선 모두 반원
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| #:두 측지선의 교점을 <math>\infty</math>로 보내는 뫼비우스 변환을 생각해주자. 그럼 두 측지선은 서로 다른 수직선으로 변한다. 역시 1번 케이스에 의해 증명이 끝났다.
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| }}
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| === 푸앵카레 원판 === | | === 푸앵카레 원판 === |