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최신판 | 당신의 편집 | ||
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{{시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학}} | {{쉽게 알 수 있다 시리즈|수학이 정말 쉬워서 저 수포자 그만둡니다. | ||
|문서의 내용이 너무 쉬워서 머리속에 쏙쏙 들어옵니다. | |||
|수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/질문|도와주세요! 리브레 수학 선생님! 코너 바로가기}} | |||
{{:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학}} | |||
{{토막글}} | |||
==집합== | ==집합== | ||
일단 집합이 쉬운 개념은 아니라는 것부터 인식할 필요가 있다. <s> | 일단 집합이 쉬운 개념은 아니라는 것부터 인식할 필요가 있다. <s>다들 그다지 어렵게 생각 안해서 그렇지</s> 집합이란 사실 대단히 추상적인 개념으로, 대단히 최근에(예를 들어 미적분보다 더 요즘) 생겨난 개념이다. 만일 이 단원이 어렵지 않게 느껴진다면 이미 수학적 사고와 추상화에 대단히 익숙해져 있기 때문이다. 거기에 익숙하지 않은 사람들은 당연히 이 단원이 어렵다! | ||
집합은 결국 수학적 엄밀성과 연결되어 있다. 칸토어가 수학적 엄밀성을 추구하다보니 집합이란 개념이 생각난 것이고, 이는 [[1960년]]대의 [[새수학]] 운동과도 연결되어 있으므로, 이 단원을 언제 가르쳐야 할지 현재 애매한 상태이다. 현재는 | 집합은 결국 수학적 엄밀성과 연결되어 있다. 칸토어가 수학적 엄밀성을 추구하다보니 집합이란 개념이 생각난 것이고, 이는 [[1960년]]대의 [[새수학]] 운동과도 연결되어 있으므로, 이 단원을 언제 가르쳐야 할지 현재 애매한 상태이다. 현재는 수학II 교과에서 가르친다. | ||
간단히 말해서, 집합이란 건 모임이다. 우리 가족의 모임을 예로 들면 울아빠, 울엄마, 나, 우리동생 이렇게 표현할 수 있는 것처럼 이를 기호로 '''우리 가족'''={울아빠, 울엄마, 나, 우리동생} 이렇게 표현한 것이다. 그런데, 유의할 점이, 집합 안에도 원소로 집합이 들어갈 수 있다는 점이다. 예를 들면, 추석 때 모이는 '''친족 모임'''={우리 가족, 큰아버지 가족, 작은아버지 가족} 이런 방식으로 가족이라는 집합을 원소로 또 다른 집합을 만들 수 있는 것이다. <s>여기서 헷갈리지?</s> | 간단히 말해서, 집합이란 건 모임이다. 우리 가족의 모임을 예로 들면 울아빠, 울엄마, 나, 우리동생 이렇게 표현할 수 있는 것처럼 이를 기호로 '''우리 가족'''={울아빠, 울엄마, 나, 우리동생} 이렇게 표현한 것이다. 그런데, 유의할 점이, 집합 안에도 원소로 집합이 들어갈 수 있다는 점이다. 예를 들면, 추석 때 모이는 '''친족 모임'''={우리 가족, 큰아버지 가족, 작은아버지 가족} 이런 방식으로 가족이라는 집합을 원소로 또 다른 집합을 만들 수 있는 것이다. <s>여기서 헷갈리지?</s> | ||
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===집합의 연산=== | ===집합의 연산=== | ||
====합집합==== | ====합집합==== | ||
[[ | [[File:Venn0111.svg|300픽셀]] | ||
''A''에 속하거나 ''B''에 속하는 모든 원소로 이루어진 집합을 ''A''와 ''B''의 '''합집합(union)'''이라고 하며 <math>A \cup B</math>로 표현한다. | ''A''에 속하거나 ''B''에 속하는 모든 원소로 이루어진 집합을 ''A''와 ''B''의 '''합집합(union)'''이라고 하며 <math>A \cup B</math>로 표현한다. | ||
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====교집합==== | ====교집합==== | ||
[[ | [[File:Venn0001.svg|300픽셀]] | ||
''A''와 ''B''에 동시에 속하는 원소로 이루어진 집합을 ''A''와 ''B''의 '''교집합(intersection)'''이라고 하며 <math>A \cap B</math>로 표기한다. | ''A''와 ''B''에 동시에 속하는 원소로 이루어진 집합을 ''A''와 ''B''의 '''교집합(intersection)'''이라고 하며 <math>A \cap B</math>로 표기한다. | ||
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====여집합==== | ====여집합==== | ||
[[ | [[File:Venn1010.svg|300픽셀]] | ||
전체집합 ''U''의 원소 중에서 ''A''에 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합을 (''U''에 대한) A의 '''여집합(complement)'''이라고 하고, <math>A^{c}</math>로 표기한다. 달리 표현하면 <math>A^{c} = U - A</math>이다. | 전체집합 ''U''의 원소 중에서 ''A''에 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합을 (''U''에 대한) A의 '''여집합(complement)'''이라고 하고, <math>A^{c}</math>로 표기한다. 달리 표현하면 <math>A^{c} = U - A</math>이다. | ||
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====차집합==== | ====차집합==== | ||
[[ | [[File:Venn0100.svg|300픽셀]] | ||
집합 ''A''의 원소 중 집합 ''B''의 원소가 아닌 것의 집합을 ''A''에서 ''B''를 뺀 '''차집합(difference)'''이라고 하며, <math>A-B</math>로 표기한다. 나중에는 <math>A \setminus B</math>의 표기도 쓴다. | 집합 ''A''의 원소 중 집합 ''B''의 원소가 아닌 것의 집합을 ''A''에서 ''B''를 뺀 '''차집합(difference)'''이라고 하며, <math>A-B</math>로 표기한다. 나중에는 <math>A \setminus B</math>의 표기도 쓴다. | ||
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====드 모르간의 법칙==== | ====드 모르간의 법칙==== | ||
집합의 연산식을 단순하게 만들 때 사용한다. | 집합의 연산식을 단순하게 만들 때 사용한다. | ||
<math>\left( A \cup B \right) ^c = A^c \cap B^c, \left( A \cap B \right) ^c = A^c \cup B^c</math> | <math>\left( A \cup B \right) ^c = A^c \cap B^c, \left( A \cap B \right) ^c = A^c \cup B^c</math> | ||
만약 괄호 안에 둘 이상의 집합의 합집합 또는 교집합 연산이 포함된 식이 있을 때는 결합 법칙이 성립하므로 괄호 안을 두 개의 괄호로 나누면 된다. | 만약 괄호 안에 둘 이상의 집합의 합집합 또는 교집합 연산이 포함된 식이 있을 때는 결합 법칙이 성립하므로 괄호 안을 두 개의 괄호로 나누면 된다. | ||
<math>\left( A \cup B^c \cap C \cap D^c \right) ^c</math> | <math>\left( A \cup B^c \cap C \cap D^c \right) ^c</math> | ||
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* 예시 | * 예시 | ||
*: x는 정수이다. | *: x는 정수이다. | ||
*: [[추가바람]] | *: [[추가바람]] | ||
조건은 명제를 이루는 가장 작은 요소이로, 명제는 조건 p, q를 이용해 "p이면 q이다"와 같이 만들어질 수 있다. | 조건은 명제를 이루는 가장 작은 요소이로, 명제는 조건 p, q를 이용해 "p이면 q이다"와 같이 만들어질 수 있다. | ||
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*: {{위키러}}는 사람이다. | *: {{위키러}}는 사람이다. | ||
*: 리브라는 실존인물이다.{{ㅊ|그랬으면 좋겠..}} | *: 리브라는 실존인물이다.{{ㅊ|그랬으면 좋겠..}} | ||
위의 예시를 보면 공통적으로 ''"A는 B이다"'' 형식으로 | 위의 예시를 보면 공통적으로 ''"A는 B이다"'' 형식으로 되어있는 것을 볼 수 있다. A에는 명제가 표현하고자 하는 '''대상'''이 오고, B에는 그 대상의 ''특성''이 오게 된다. | ||
단순 명제들 | 단순 명제들 여러개로 이루어진 하나의 명제를 '''합성명제'''라고 한다. | ||
* 예시 | * 예시 | ||
*: [[추가바람]] | *: [[추가바람]] | ||
마찬가지로 예시로 알 수 있듯이, ''A이면 B이다'' 형식으로 | 마찬가지로 예시로 알 수 있듯이, ''A이면 B이다'' 형식으로 되어있는 것을 볼 수 있다. A를 '''가정''', B를 '''결론'''이라고 한다. 따라서, 복합명제는 "A라고 가정했을 때 B라는 결론이 나온다" 라는 뜻으로 해석할 수 있다. | ||
=== 진리표 === | === 진리표 === | ||
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|} | |} | ||
* <math>\rightarrow</math> | * <math>\rightarrow</math> | ||
p<math>\rightarrow</math>q는 <math>\lnot</math>p<math>\lor</math>q와 같다 | *: p<math>\rightarrow</math>q는 <math>\lnot</math>p<math>\lor</math>q와 같다. | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
! p | ! p | ||
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|} | |} | ||
* <math>\leftrightarrow</math> | * <math>\leftrightarrow</math> | ||
p<math>\leftrightarrow</math>q는 (p<math>\rightarrow</math>q)<math>\land</math>(q<math>\rightarrow</math>p) 와 같다 | *: p<math>\leftrightarrow</math>q는 (p<math>\rightarrow</math>q)<math>\land</math>(q<math>\rightarrow</math>p) 와 같다. | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
! p | ! p | ||
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|} | |} | ||
==== 연산법칙 ==== | ==== 연산법칙 ==== | ||
모든 논리연산은 <math> | 모든 논리연산은 <math>\land, \lor, \not</math>만으로 표현이 가능하다. 이것에 대한 자세한 설명은 [[논리연산]]참고. <math>\land, \lor, \not</math>에 대해 다음 법칙이 성립한다. | ||
* [[교환법칙]], [[결합법칙]], [[분배법칙]] | * [[교환법칙]], [[결합법칙]], [[분배법칙]] | ||
* 흡수법칙 | * 흡수법칙 | ||
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*: A<math>\lor</math>(<math>\lnot</math>A)=1 | *: A<math>\lor</math>(<math>\lnot</math>A)=1 | ||
*: <math>\lnot</math>(<math>\lnot</math>A)=A | *: <math>\lnot</math>(<math>\lnot</math>A)=A | ||
===공리=== | ===공리=== | ||
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===집합과의 관계=== | ===집합과의 관계=== | ||
{{주석}} | {{주석}} | ||
{{리브레 시리즈}} | {{리브레 시리즈}} | ||
[[분류:수학]] | [[분류:수학]] | ||
[[분류:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학]] | [[분류:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학]] |