시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/집합과 명제 편집하기

{{:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학}}

==집합==
일단 집합이 쉬운 개념은 아니라는 것부터 인식할 필요가 있다. <s>중학교 1학년 첫단원이라서 그런가, 다들 그다지 어렵게 생각 안해서 그렇지(고등 교육과정으로 넘어갔다)</s> 집합이란 사실 대단히 추상적인 개념으로, 대단히 최근에(예를 들어 미적분보다 더 요즘) 생겨난 개념이다. 만일 이 단원이 어렵지 않게 느껴진다면 이미 수학적 사고와 추상화에 대단히 익숙해져 있기 때문이다. 거기에 익숙하지 않은 사람들은 당연히 이 단원이 어렵다!

집합은 결국 수학적 엄밀성과 연결되어 있다. 칸토어가 수학적 엄밀성을 추구하다보니 집합이란 개념이 생각난 것이고, 이는 [[1960년]]대의 [[새수학]] 운동과도 연결되어 있으므로, 이 단원을 언제 가르쳐야 할지 현재 애매한 상태이다. 현재는 수학 교과에서 가르친다.

간단히 말해서, 집합이란 건 모임이다. 우리 가족의 모임을 예로 들면 울아빠, 울엄마, 나, 우리동생 이렇게 표현할 수 있는 것처럼 이를 기호로 '''우리 가족'''={울아빠, 울엄마, 나, 우리동생} 이렇게 표현한 것이다. 그런데, 유의할 점이, 집합 안에도 원소로 집합이 들어갈 수 있다는 점이다. 예를 들면, 추석 때 모이는 '''친족 모임'''={우리 가족, 큰아버지 가족, 작은아버지 가족} 이런 방식으로 가족이라는 집합을 원소로 또 다른 집합을 만들 수 있는 것이다. <s>여기서 헷갈리지?</s>

*[[공집합]]: 원소가 하나도 없는 집합. 기호는 <math> \{ \} </math>나 <math> \emptyset </math>. <s>[[자쿠와는 다르다 자쿠와는|<math> \phi </math>와는 다르다 <math> \phi </math>와는]]</s> 공집합은 모든 집합의 부분집합이다.
*전체집합: 고려해야하는 모든 대상을 담은 집합. 기호로는 보통 <math> U </math>(universal set)를 쓴다. 

===집합 원소의 개수===
''A''가 유한집합일 때, ''A''의 원소의 개수를 <math>n(A)</math>로 표기한다. 나중에는 <math>|A|</math>의 표기도 쓴다.
===집합의 연산===
====합집합====
[[File:Venn0111.svg|300픽셀]]

''A''에 속하거나 ''B''에 속하는 모든 원소로 이루어진 집합을 ''A''와 ''B''의 '''합집합(union)'''이라고 하며 <math>A \cup B</math>로 표현한다.

여집합은 논리 연산자 OR(<math>\lor</math>)과 연관된다. 즉, <math>x \in A \cup B \iff x \in A \lor x \in B</math>이다.

====교집합====
[[File:Venn0001.svg|300픽셀]]

''A''와 ''B''에 동시에 속하는 원소로 이루어진 집합을 ''A''와 ''B''의 '''교집합(intersection)'''이라고 하며 <math>A \cap B</math>로 표기한다.

교집합은 논리 연산자 AND(<math>\land</math>)와 연관된다. 즉, <math>x \in A \cap B \iff x \in A \land x \in B</math>이다.

<math>A \cap B = \emptyset</math>이면 A와 B는 '''서로 소(disjoint)'''라고 한다. 반대로 <math>A \cap B \neq \emptyset</math>이면 A와 B는 intersect한다고 하는데, 우리말로는 적당한 번역어가 없다.

====여집합====
[[File:Venn1010.svg|300픽셀]]

전체집합 ''U''의 원소 중에서 ''A''에 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합을 (''U''에 대한) A의 '''여집합(complement)'''이라고 하고, <math>A^{c}</math>로 표기한다. 달리 표현하면 <math>A^{c} = U - A</math>이다.

여집합은 논리 연산자 NOT(<math>\neg</math>, 고등학교에서는 <math>\sim</math>를 더 많이 쓴다)과 연관된다. 즉, <math>x \in A^{c} \iff \neg[x \in A]</math>이다.

====차집합====
[[File:Venn0100.svg|300픽셀]]

집합 ''A''의 원소 중 집합 ''B''의 원소가 아닌 것의 집합을 ''A''에서 ''B''를 뺀 '''차집합(difference)'''이라고 하며, <math>A-B</math>로 표기한다. 나중에는 <math>A \setminus B</math>의 표기도 쓴다.

<math>A-B = A \cap B^{c}</math>의 관계가 성립한다.
===집합에 사용되는 정리, 법칙===
====포함-배제의 원리====
합집합의 원소의 개수를 셀 때 사용하는 방법이다. 경우의 수를 셀 때 아주 유용하게 쓰인다.
<math>n \left( A \cup B \right) = n \left( A \right) + n \left( B \right) - n \left( A \cap B \right)</math>

<math>n \left( A \cup B \cup C \right) = n \left( A \right) + n \left( B \right) + n \left( C \right) - n \left( A \cap B \right) - n \left( B \cap C \right) - n \left( C \cap A \right) + n \left( A \cap B \cap C \right)</math>

집합이 3개 이상일 때에도 비슷한 방법으로 계산할 수 있다.

====드 모르간의 법칙====
[[파일:De morgan 1.svg|400 픽셀]]

<math>\left( A \cup B \right) ^c = A^c \cap B^c</math>

[[파일:De morgan 2.svg|400 픽셀]]

<math>\left( A \cap B \right) ^c = A^c \cup B^c</math>


집합의 연산식을 단순하게 만들 때 사용한다.

<math>\left( A \cup B \right) ^c = A^c \cap B^c, \left( A \cap B \right) ^c = A^c \cup B^c</math>

만약 괄호 안에 둘 이상의 집합의 합집합 또는 교집합 연산이 포함된 식이 있을 때는 결합 법칙이 성립하므로 괄호 안을 두 개의 괄호로 나누면 된다.(?? 아래 식 잘못된것같음. 한 괄호 안에 합집합과 교집합이 공존할 순 없잖나...)

<math>\left( A \cup B^c \cap C \cap D^c \right) ^c</math>

<math>= \left( \left( A \cup B^c \right) \cap \left( C \cap D^c \right) \right) ^c</math>

<math>= \left( \left( A \cup B^c \cap C \right) \cap D^c \right) ^c</math>

<math>= \left( A \cup \left( B^c \cap C \cap D^c \right) \right) ^c</math>

==명제==
누구라도 참인지 거짓인지 일치된 판단을 할 수 있는 문장을 명제라고 한다. 즉, '''객관적'''으로 참과 거짓을 알 수 있다.
===명제의 구조===
특정한 변수의 값에 따라 참과 거짓이 달라지는 식 또는 문장을 '''조건'''이라고 한다.
* 예시
*: x는 정수이다.
*: (어떤 도형이) 삼각형이면 내각의 합이 180도이다.
*: [[추가바람]]
조건은 명제를 이루는 가장 작은 요소이로, 명제는 조건 p, q를 이용해 "p이면 q이다"와 같이 만들어질 수 있다.

더이상 쪼갤 수 없는 가장 작은 단위의 명제를 '''단순명제'''라고 한다. [[조건과는 다르다! 조건과는!]]
* 예시
*: {{위키러}}는 사람이다.
*: 리브라는 실존인물이다.{{ㅊ|그랬으면 좋겠..}}
위의 예시를 보면 공통적으로 ''"A는 B이다"'' 형식으로 되어 있는 것을 볼 수 있다. A에는 명제가 표현하고자 하는 '''대상'''이 오고, B에는 그 대상의 ''특성''이 오게 된다.

단순 명제들 여러 개로 이루어진 하나의 명제를 '''합성명제'''라고 한다.
* 예시
*: [[추가바람]]
마찬가지로 예시로 알 수 있듯이, ''A이면 B이다'' 형식으로 되어 있는 것을 볼 수 있다. A를 '''가정''', B를 '''결론'''이라고 한다. 따라서, 복합명제는 "A라고 가정했을 때 B라는 결론이 나온다" 라는 뜻으로 해석할 수 있다.

=== 진리표 ===
명제의 모든 가능성을 표로 나열한 것을 '''진리표'''라고 한다.

단순명제 p의 진리표는 다음과 같이 작성한다.
{| class="wikitable"
! p
|-
| T
|-
| F
|}
(여기에서 T는 참, F는 거짓을 나타낸다)


합성명제 <math>p \rightarrow q</math>의 진리표는 다음과 같은 방식으로 작성한다.
{| class="wikitable"
! p
! q
! <math>p \rightarrow q</math>
|-
| T
| T
| T
|-
| T
| F
| F
|-
| F
| T
| T
|-
| F
| F
| T
|}


진리표를 그린 결과가 모두 참일 때, 그 명제를 '''항진명제'''라고 하고, 모두 거짓일 때는 '''모순'''이라고 한다.

=== 논리 연산 ===

단순명제를 논리 연산을 이용해 합성하면 합성명제를 만들어낼 수 있다. 이 문서에서 알아볼 논리 연산의 종류는 다음과 같다.
* <math>\lnot</math>(not)
{| class="wikitable"
! p
! <math>\lnot</math>p
|-
| T
| F
|-
| F
| T
|}
* <math>\land</math>(and)
{| class="wikitable"
! p
! q
! p<math>\land</math>q
|-
| T
| T
| T
|-
| T
| F
| F
|-
| F
| T
| F
|-
| F
| F
| F
|}
* <math>\lor</math>(or)
{| class="wikitable"
! p
! q
! p<math>\lor</math>q
|-
| T
| T
| T
|-
| T
| F
| T
|-
| F
| T
| T
|-
| F
| F
| F
|}
* <math>\rightarrow</math>
p<math>\rightarrow</math>q는 <math>\lnot</math>p<math>\lor</math>q와 같다.

p<math>\rightarrow</math>q가 참일 때 p<math>\Rightarrow</math>라고 쓴다.
{| class="wikitable"
! p
! q
! p<math>\rightarrow</math>q
|-
| T
| T
| T
|-
| T
| F
| F
|-
| F
| T
| T
|-
| F
| F
| T
|}
* <math>\leftrightarrow</math>
p<math>\leftrightarrow</math>q는 (p<math>\rightarrow</math>q)<math>\land</math>(q<math>\rightarrow</math>p) 와 같다.

p<math>\leftrightarrow</math>q가 참일 때 p<math>\Leftrightarrow</math>라고 쓴다.
{| class="wikitable"
! p
! q
! p<math>\leftrightarrow</math>q
|-
| T
| T
| T
|-
| T
| F
| F
|-
| F
| T
| F
|-
| F
| F
| T
|}
==== 연산법칙 ====
모든 논리연산은 <math>A\land B, A\lor B, \lnot A</math>(A, B는 임의의 논리식)만으로 표현이 가능하다. 이것에 대한 자세한 설명은 [[논리연산]]참고. 이 연산들에 대해 다음 법칙이 성립한다.
* [[교환법칙]], [[결합법칙]], [[분배법칙]]
* 흡수법칙
*: A<math>\land</math>(A<math>\lor</math>B)=A
*: A<math>\lor</math>(A<math>\land</math>B)=A
* 드모르간의 법칙
*: (<math>\lnot</math>A)<math>\land</math>(<math>\lnot</math>B)=<math>\lnot</math>(A<math>\lor</math>A)
*: (<math>\lnot</math>A)<math>\lor</math>(<math>\lnot</math>B)=<math>\lnot</math>(A<math>\land</math>A)
* 기타
*: A<math>\land</math>A=A
*: A<math>\lor</math>A=A
*: A<math>\land</math>0=0
*: A<math>\lor</math>0=A
*: A<math>\land</math>1=A
*: A<math>\lor</math>1=1
*: A<math>\land</math>(<math>\lnot</math>A)=0
*: A<math>\lor</math>(<math>\lnot</math>A)=1
*: <math>\lnot</math>(<math>\lnot</math>A)=A

각각의 연산법칙들은 밴 다이어그램을 그려보면 쉽게 이해할 수 있다.
==== 역, 이, 대우 ====
명제 <math>p\rightarrow q</math>는 세 가지 방법으로 뒤집을 수 있다.
* 가정과 결론을 바꾸는 방법(<math>q\rightarrow p</math>)을 ''역''이라고 한다.
* 가정과 결론을 모두 부정하는 방법(<math>\lnot p\rightarrow\lnot q</math>)을 ''이''라고 한다.
* 역과 이를 동시에 적용하는 방법(<math>\lnot q\rightarrow\lnot p</math>)을 ''대우''라고 한다.
이들의 특성은 다음과 같다.
* 원명제와 역명제, 이명제와 대우명제는 서로 ''역 관계''에 있다.
* 원명제와 이명제, 역명제와 대우명제는 서로 ''이 관계''에 있다.
* 원명제와 대우명제, 역명제와 이명제는 서로 ''대우 관계''에 있다.

===공리===
우리가 어떤 명제의 참과 거짓을 증명해낼 때는 다른 명제를 이용하게 된다. 그런데, 모든 명제가 처음부터 참과 거짓이 증명되어 있지 않다면? {{ㅊ|[[충격과 공포다]]}} 전제가 이상하기 때문에 증명이 맞다고 할 수 없게 된다. 올바른 증명을 하려면 ''가장 기초적인 근거가 될 가정''을 할 필요가 있다. 이것을 '''공리'''라고 한다. 어떤 이론체계에서든 공리를 제대로 설정했을 때만 논리적으로 접근할 수 있다.

공리로 시작해서 연역적으로 유도되는 명제를 '''정리'''라고 한다.

===집합과의 관계===
변수가 속해있는 [[전체집합]] U의 원소 중 어떤 조건이 참이 되게 하는 모든 원소의 집합을 그 조건의 '''진리집합'''이라고 한다. 조건 p, q의 진리집합이 P, Q일 때, 다음이 성립한다.

(p<math>\Rightarrow</math>q) <math>\Leftrightarrow</math> (P<math>\in</math>Q)

(p<math>\nRightarrow</math>q) <math>\Leftrightarrow</math> (P<math>\notin</math>Q)

{{주석}}
{{리브레 시리즈}}
[[분류:수학]]
[[분류:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학]]