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| 최신판 | 당신의 편집 | ||
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{{시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학}} | {{쉽게 알 수 있다 시리즈 | ||
|수학이 정말 쉬워서 저 수포자 그만둡니다. | |||
|문서의 내용이 너무 쉬워서 머리속에 쏙쏙 들어옵니다. | |||
|수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/질문|도와주세요! 리브레 수학 선생님! 코너 바로가기}} | |||
{{:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학}} | |||
{{토막글}} | |||
==수열== | ==수열== | ||
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**초항 : 특별히 수열의 가장 첫번째 항 <math>a _1</math>을 초항이라고 한다. | **초항 : 특별히 수열의 가장 첫번째 항 <math>a _1</math>을 초항이라고 한다. | ||
*일반항 : ''n''번째 항을 ''n''에 대해서 나타낸 것. | *일반항 : ''n''번째 항을 ''n''에 대해서 나타낸 것. | ||
*:일반항을 알고 있다면 n에 숫자만 넣어서 얼마인지 바로 알 수 있다! <math>a_{n}=n</math>이라 하면, 이 수열은 1, 2, 3, 4, 5, 6, …가 된다. | *:일반항을 알고 있다면 n에 숫자만 넣어서 얼마인지 바로 알 수 있다! <math>a_{n}=n</math>이라 하면, 이 수열은 1, 2, <s>짝</s>3, 4, 5, <s>짝</s>6, …가 된다. | ||
*점화식 : 여러 항들 사이의 관계식. | *점화식 : 여러 항들 사이의 관계식. | ||
*:<math>a_{n+1}=a_{n}+1</math>같이 각 항들 사이의 관계를 나타내주는 식이다. 점화식과 초항을 알고 있다면 <math>a_{2}</math>를 구하고, <math>a_{2}</math>를 통해 <math>a_{3}</math>을 구하고, 이렇게 연쇄적으로 수열을 계속 구할 수 있다.<ref>가끔 이렇게 수열을 구하는 게 불을 붙인 게 번져나가는 것 같다 해서 점화(點火)식이라고 알고 있기도 하는데, 한자 자체가 점화식(漸化式)과는 다르다!</ref> | *:<math>a_{n+1}=a_{n}+1</math>같이 각 항들 사이의 관계를 나타내주는 식이다. 점화식과 초항을 알고 있다면 <math>a_{2}</math>를 구하고, <math>a_{2}</math>를 통해 <math>a_{3}</math>을 구하고, 이렇게 연쇄적으로 수열을 계속 구할 수 있다.<ref>가끔 이렇게 수열을 구하는 게 불을 붙인 게 번져나가는 것 같다 해서 점화(點火)식이라고 알고 있기도 하는데, 한자 자체가 점화식(漸化式)과는 다르다!</ref> | ||
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여기서 <math>R</math>은 제 <math>n</math>항이므로 <math>R=a+(n-1)d</math>를 위 3번식에 대입하면 <math>S_{n}=\frac{n\left \{ 2a+\left ( n-1 \right )d \right \}}{2}</math> | 여기서 <math>R</math>은 제 <math>n</math>항이므로 <math>R=a+(n-1)d</math>를 위 3번식에 대입하면 <math>S_{n}=\frac{n\left \{ 2a+\left ( n-1 \right )d \right \}}{2}</math> | ||
여담이지만 수학자 [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]가 이 방법으로 1부터 100까지의 합을 구했다고 한다. '''10살 때, | 여담이지만 수학자 [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]가 이 방법으로 1부터 100까지의 합을 구했다고 한다. '''10살 때, 10초만에, 암산으로.'''<ref>암산이라거나 10초만이라는 이야기는 과장되었을 수도 있다. 하지만 정말로 빠른 시간안에 풀어냈다는 건 확실한 사실. 정확히 이 이야기를 알고 있다면 [[수정바람]].</ref> | ||
1부터 100까지의 합은 1, 2, 3, …인 수열의 100번째까지의 합이니까 초항이 1이고 100번째 항이 100이므로 100×(1+100)/2=5050이 나온다. 숫자 계산 자체는 그렇게 어려운 것도 아니다. 10살이란 나이에 저 '뒤집어서 더한다' 라는 발상을 해낸 게 대단한 것. | 1부터 100까지의 합은 1, 2, 3, …인 수열의 100번째까지의 합이니까 초항이 1이고 100번째 항이 100이므로 100×(1+100)/2=5050이 나온다. 숫자 계산 자체는 그렇게 어려운 것도 아니다. 10살이란 나이에 저 '뒤집어서 더한다' 라는 발상을 해낸 게 대단한 것. | ||
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==수학적 귀납법== | ==수학적 귀납법== | ||
==점화식 수열== | ==점화식 수열== | ||
=== <math>a_{n+1}=a_{n}+f(n)</math> === | === <math>a_{n+1}=a_{n}+f(n)</math> === | ||
=== <math>a_{n+1}=f(n)a_{n}</math> === | === <math>a_{n+1}=f(n)a_{n}</math> === | ||
=== <math>a_{n+1}=pa_{n}+q</math> === | |||
<math> | |||
a_{n+1}=pa_{n}+q | |||
\begin{cases} | |||
& p\neq1,a_{n}=(a_1-q)p^{n-1}+\frac{q\left ( p^{n-1} \right )}{p-1}\\ | |||
& p=1, a_{n}= a_1+q\left ( n-1 \right ) | |||
=== <math> | \end{cases} | ||
<math>\ | </math> | ||
<br> | |||
==== <math>ra_{n+1}+p a_{n}+q=0</math> ==== | |||
<math>\begin{cases} | |||
& r\neq 0,p+r\neq 0, a_n=\left ( a_1+\frac{q}{r} \right )^{n-1}+\frac{q\left ( \left ( -\frac{p}{r} \right )^{n}-1 \right )}{r+p} \\ | |||
& r+p=0,r\neq0, a_n=a_1+\frac{q\left ( 1-n \right )}{r} \\ | |||
\end{cases}</math> | |||
==== <math>p a_{n+2}+q a_{n+1}+r a_{n}=0</math> ==== | |||
==== <math>\begin{cases} a{n+1}=p a_{n}+q b_{n} \\ b{n+1}=q a_{n}+p b_{n} \end{cases}</math> ==== | |||
=== <math>p a_{n+2}+q a_{n+1}+r a_{n}=0 | |||
=== <math>\begin{cases} | |||
==급수== | ==급수== | ||
수열 <math>\left \{ a_{n} \right \}</math>의 첫째항부터 제<math>n</math>항까지의 합을 기호 <math>\sum </math>을 사용하여<br | 수열 <math>\left \{ a_{n} \right \}</math>의 첫째항부터 제<math>n</math>항까지의 합을 기호 <math>\sum </math>을 사용하여<br> | ||
<math>a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}</math>이라고 표현합니다.<br | <math>a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}</math>이라고 표현합니다.<br> | ||
=== 급수의 성질 === | === 급수의 성질 === | ||
두 수열 <math>\left \{ a_{n} \right \},\left \{ b_{n} \right \}</math>에 대하여.<br | 두 수열 <math>\left \{ a_{n} \right \},\left \{ b_{n} \right \}</math>에 대하여.<br> | ||
<math> | <math> | ||
\sum_{k=1}^{n}\left ( a_{k}+b_{k} \right )=\\ | \sum_{k=1}^{n}\left ( a_{k}+b_{k} \right )=\\ | ||
| 172번째 줄: | 157번째 줄: | ||
\left ( a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \right )+\left ( b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n \right )=\\ | \left ( a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \right )+\left ( b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n \right )=\\ | ||
=\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k | =\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k | ||
</math><br | </math><br> | ||
또 상수 c에 대하여.<br | 또 상수 c에 대하여.<br> | ||
<math> | <math> | ||
\sum_{k=1}^{n}ca_k=ca_1+ca_2+ca_3+\cdots+ca_n\\ | \sum_{k=1}^{n}ca_k=ca_1+ca_2+ca_3+\cdots+ca_n\\ | ||
| 180번째 줄: | 165번째 줄: | ||
</math> | </math> | ||
=== 여러 가지 급수 === | === 여러 가지 급수 === | ||
==== <math>\sum_{k=1}^{n}k</math> ==== | ==== <math>\sum_{k=1}^{n}k</math> ==== | ||
<math>\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}</math><br | <math>\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}</math><br> | ||
이건 위 공식에서 그냥 첫째항과 공차에 각각 1 대입하면 나옵니다. | 이건 위 공식에서 그냥 첫째항과 공차에 각각 1 대입하면 나옵니다. | ||
==== <math>\sum_{k=1}^{n}k^2</math> ==== | ==== <math>\sum_{k=1}^{n}k^2</math> ==== | ||
항등식 <math>\left ( x+1 \right )^{3}-{x}^{3}=3{x}^{2}+3x+1</math>의 <math>x</math>에<br | 항등식 <math>\left ( x+1 \right )^{3}-{x}^{3}=3{x}^{2}+3x+1</math>의 <math>x</math>에<br> | ||
<math>1,2,3,\cdots,n</math>을 차례로 대입해 봅시다.<br | <math>1,2,3,\cdots,n</math>을 차례로 대입해 봅시다.<br> | ||
<math> | <math> | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
| 195번째 줄: | 179번째 줄: | ||
& x=n,\left ( n+1 \right )^3-n^3=3\times n^2+3\times n+1 | & x=n,\left ( n+1 \right )^3-n^3=3\times n^2+3\times n+1 | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
</math><br | </math><br> | ||
싸그리 더하면.<br | 싸그리 더하면.<br> | ||
<math> | <math> | ||
\require{cancel} | \require{cancel} | ||
| 206번째 줄: | 190번째 줄: | ||
& x=n,\left ( n+1 \right )^3\bcancel{-n^3}=3\times n^2+3\times n+1 | & x=n,\left ( n+1 \right )^3\bcancel{-n^3}=3\times n^2+3\times n+1 | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
</math><br | </math><br> | ||
<math>\left ( n+1 \right )^{3}-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}+3\sum_{k=1}^{n}1</math><br | <math>\left ( n+1 \right )^{3}-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}+3\sum_{k=1}^{n}1</math><br> | ||
그런데 <math>\sum_{k=1}^{n}=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2},\sum_{k=1}^{n}1=n</math><br | 그런데 <math>\sum_{k=1}^{n}=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2},\sum_{k=1}^{n}1=n</math><br> | ||
따라서.<br | 따라서.<br> | ||
<math>\left ( n+1 \right )^3-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\times \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}+n</math><br | <math>\left ( n+1 \right )^3-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\times \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}+n</math><br> | ||
<math>3\sum_{k=1}^{n}k^2=\left ( n+1 \right )^3-\frac{3n\left ( n+1 \right )}{2}-\left ( n+1 \right )=\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6}</math> | <math>3\sum_{k=1}^{n}k^2=\left ( n+1 \right )^3-\frac{3n\left ( n+1 \right )}{2}-\left ( n+1 \right )=\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6}</math> | ||
입니다. | 입니다. | ||
| 217번째 줄: | 201번째 줄: | ||
수열의 원소가 ''n''이 커짐에 따라 ''특정한 값에 다가갈 때'', 이 수열은 ''수렴한다''고 한다. | 수열의 원소가 ''n''이 커짐에 따라 ''특정한 값에 다가갈 때'', 이 수열은 ''수렴한다''고 한다. | ||
수렴하지 않는 수열은 ''n''이 커짐에 따라 ''발산한다''고 한다. | 수렴하지 않는 수열은 ''n''이 커짐에 따라 ''발산한다''고 한다. | ||
==무한급수== | ==무한급수== | ||
<math>\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}a_k</math>또는 <math>\sum_{k=1}^{\infty }a_k</math>라고 표기합니다. | <math>\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}a_k</math>또는 <math>\sum_{k=1}^{\infty }a_k</math>라고 표기합니다. | ||
=== | === 무한급수가 수렴할 조건 === | ||
=== 여러 가지 수열의 무한급수 === | === 여러 가지 수열의 무한급수 === | ||
==== 무한등비급수 ==== | ==== 무한등비급수 ==== | ||
초항이 a이고 공비 r이 <math>\left | r \right |<1</math>인 등비수열의 무한급수를 구해 봅시다.<br | 초항이 a이고 공비 r이 <math>\left | r \right |<1</math>인 등비수열의 무한급수를 구해 봅시다.<br> | ||
자,초항이 a이고 공비가 r<ref><math>\left | r \right |<1</math></ref>인 등비수열 <math>\left \{ a_n \right \}</math>의 합은 다음과 같습니다.<br | 자,초항이 a이고 공비가 r<ref><math>\left | r \right |<1</math></ref>인 등비수열 <math>\left \{ a_n \right \}</math>의 합은 다음과 같습니다.<br> | ||
<math>\huge \frac{a\left ( 1-{r}^{n} \right )}{1-r}</math><br | <math>\huge \frac{a\left ( 1-{r}^{n} \right )}{1-r}</math><br> | ||
<math>\lim_{n \to \infty }{r}^{n}=0</math><br | <math>\lim_{n \to \infty }{r}^{n}=0</math><br> | ||
따라서 <math>\huge \lim_{n \to \infty }\frac{a\left ( 1-{r}^{n} \right )}{1-r}=\frac{a}{1-r}</math> | 따라서 <math>\huge \lim_{n \to \infty }\frac{a\left ( 1-{r}^{n} \right )}{1-r}=\frac{a}{1-r}</math> | ||
===== 무한등비급수를 이용하여 [[0.99…=1]]임을 증명해 봅시다. ===== | ===== 무한등비급수를 이용하여 [[0.99…=1]]임을 증명해 봅시다. ===== | ||
우선 0.99...는 초항이 0.9이고 공비가 0.1인 무한등비급수라고 할 수 있습니다.<br | 우선 0.99...는 초항이 0.9이고 공비가 0.1인 무한등비급수라고 할 수 있습니다.<br> | ||
고로 위 식에 대입합니다.<br | 고로 위 식에 대입합니다.<br> | ||
<math>\frac{0.9}{1-0.1}=\frac{9}{10-1}=\frac{9}{9}=1</math> | <math>\frac{0.9}{1-0.1}=\frac{9}{10-1}=\frac{9}{9}=1</math> | ||
어때요,[[참 쉽죠?]] | 어때요,[[참 쉽죠?]] | ||