로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.중간의 다른 편집과 충돌하여 이 편집을 되돌릴 수 없습니다. 스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!'''수열'''(數列, sequence [of numbers])은 [[자연수|자연수 집합]], 더 넓게는 [[가산집합|가산]] [[전순서 집합]]을 [[정의역]]으로 하는 [[함수]]를 말한다. 여기서의 자연수 집합은 보통 [[0]]을 포함하는데, 이는 수열 <math>\{a_n\}</math>에서 [[멱급수]] <math>\sum a_i x^i</math>를 만들 때 변수의 지수(exponentiation)와 수열의 지수(index)를 ''i''로 같게 하기 위해서이다. [[정수론]]에서는 이와 완전히 같은 개념인 [[수론적 함수]]를 도입하는데, 이는 수열을 나열이 아닌 하나의 함수로 보겠다는 것이다. == 수열의 일반적인 정의 == 수열은 정의역이 자연수 집합일 뿐, 공역에는 상관하지 않는다. 즉 함수를 나열한 함수열도 수열이고, 행렬을 나열한 행렬렬도 수열이다. 즉 수열 {''a<sub>i</sub>''}의 정의는 다음과 같다: : <math>a_\cdot : \; \mathbb N \rightarrow Y.</math> 하지만 일반적으로 수열이라 함은 공역이 [[복소수]] 범위, 좁게는 [[실수]] 범위에 대하여 다룬다. 이는 (덧셈과 곱셈에 대한) [[교환법칙|교환]], [[결합법칙]]이 만족하는, 다루기 쉬운 [[가환군]]이기 때문이다. 수열은 [[순서쌍]]의 형태로도 나타낼 수 있으며, (정의역이 무한집합이기 때문에) <math>Y^\omega</math>의 원소로 표현한다. 즉 : <math>\{a_n\} \in Y^\omega</math> 이다. 각각의 함숫값 ''a<sub>i</sub>''을 '''제 ''i''-항'''(''i''-th term)이라고 하며, 이를 모든 정의역의 원소 ''n''에 대하여 나타낸 것을 '''일반항'''(general term)이라고 한다. 보통 수열을 표기할 때는 중괄호 (또는 소괄호) 안에 일반항, 또는 원소를 나열하여 표기한다. == 수열의 극한 == {{참고|수열의 극한}} 공역이 실수인 실수열에서는 [[엡실론-N 논법]]을 사용하여 함수의 극한을 정의한다. 즉 <math>\{a_n\}</math>이 실수열일 때 모든 <math>\epsilon >0</math>에 대해서 <math>N \in \mathbb N</math>이 존재하여, <math>(n \in \mathbb N) \ge N</math>일 때 <math>|a_n -a|<\epsilon</math>이 성립하는 <math>a \in \mathbb{R}</math>가 존재하면 <math>a</math>는 수열 <math>\{a_n \}</math>의 극한이다. 이를 확장하면 복소수열, 더 나아가 [[거리공간]]에까지 확장할 수 있다. <math>|a_n -a|</math>를 <math>a_n</math>과 <math>a</math> 사이의 거리라고 생각하면, 다음과 같이 일반화할 수 있다: : <math>\{a_n\}</math>이 [[거리함수]](metric) <math>d</math>를 가지는 거리공간 <math>X</math>에서의 수열이라 하자. 모든 <math>\epsilon >0</math>에 대해서 <math>N \in \mathbb N</math>이 존재하여, <math>(n \in \mathbb N) \ge N</math>일 때 <math>d(a_n,a) < \epsilon </math>이 성립하는 <math>a\in X</math>가 존재하면 <math>a</math>는 수열 <math>\{a_n\}</math>의 극한이다. 또한 거리함수를 [[근방]](neighborhood)으로 바꾸면 [[위상공간]]에까지 확장 가능하다: : <math>\{a_n\}</math>이 위상공간 <math>X</math>에서의 수열이라 하자. 어떤 <math>a \in X</math>와 그 임의의 근방 <math>N_a</math>가 있고, <math>N \in \mathbb N</math>이 존재하여 <math>(n \in \mathbb N) \ge N</math>일 때 <math>a_n\in N_a</math>이면 <math>a</math>를 수열 <math>\{a_n\}</math>의 극한이라고 한다. <del>[[고만해, 미친놈들아!]]</del> == 유계 == 수열 <math>\left\{a_n\right\} : \; \mathbb N \rightarrow \mathbb R</math>가 '''위로 유계(bounded above)'''라는 것은 모든<math>n \in \mathbb N</math>에 대해 <math>a_n \le A</math>인 <math>A \in \mathbb R</math>이 존재하는 것이다. 이 때 <math>A</math>를 '''상계(upper bound)'''라고 한다. 가장 작은 상계를 '''최소 상계(least upper bound)'''라고 한다. 수열 <math>\left\{a_n\right\} : \; \mathbb N \rightarrow \mathbb R</math>가 '''아래로 유계(bounded below)'''라는 것은 모든<math>n \in \mathbb N</math>에 대해 <math>a_n \ge A</math>인 <math>A \in \mathbb R</math>이 존재하는 것이다. 이 때 <math>A</math>를 '''하계(lower bound)'''라고 한다. 가장 큰 하계를 '''최대 하계(greatest lower bound)'''라고 한다. 수열 <math>\left\{a_n\right\} : \; \mathbb N \rightarrow \mathbb R</math>가 위로 유계면서 아래로 유계일 때, 다시말해, 상계와 하계가 '''모두''' 존재하면, 수열은 '''유계(bounded)'''라고 하고, 유계가 아닌 수열을 '''비유계(unbounded)'''라고 한다. == 예시 == 한국의 고등학교 수학 교육과정에서는 대표적인 수열 몇가지를 배우게 된다. === 등차수열 === 인접한 항의 차가 항상 일정한 수열. 간단한 예로는 <math>\left(1,2,3,\cdots,\right)</math>같은 것이 있으며, 이 때 인접한 두 항의 차를 '''공차'''라고 부른다. 등차수열의 일반항을 <math>a_n</math>, 공차를 <math>d</math>, 초항을 <math>a</math>라고 하면 일반항은 <math>a_n=a+\left(n-1\right)d</math>로 표현할 수 있다. (유한한) 등차수열의 합은 가우스가 1부터 100까지의 합을 간단하게 구한 방법과 동일한 방법을 사용한다. 즉, 첫 번째 줄엔 항들을 순서대로, 두 번째 줄엔 항들을 역순으로 배열한다. :<math>S=a+\left(a+d\right)+\cdots+l</math><br /><math>S=l+\left(l-d\right)+\cdots+a</math> 그 후 두 식을 변끼리 더하는데, <math>a_i+a_{n-i+1}</math>의 값은 항상 일정하다는 사실을 알 수 있다. 즉, <math>a_i+a_{n-i+1}=a+l</math>이고, 따라서 <math>2S=n\left(a+l\right)</math>이다. 곧, <math>S=\frac{n\left(a+l\right)}{2}</math>. 만약 마지막 항의 값을 모르고, 대신에 공차를 안다면 <math>l=a+\left(n-1\right)d</math>으로 바꿔서 쓸 수도 있다. 등차수열에는 등차중항이라는 개념이 있는데, 연속된 세 항의 가운데 항은 나머지 두 항의 합의 [[평균|산술평균]]이라는 것. 즉, <math>a,b,c</math>가 등차수열을 이룬다면 <math>b=\frac{a+c}{2}</math>라는 소리. === 등비수열=== 인접한 항의 비가 항상 일정한 수열. 간단한 예로는 <math>\left(1,2,4,8,\cdots\right)</math>같은 것이 있다. 인접한 두 항의 비를 '''공비'''라고 부르며, 공비를 <math>r</math>이라 했을 때 일반항은 <math>a_n=ar^{n-1}</math>이다. (유한한) 등비수열의 합은 등차수열의 합과는 조금 다른 방법으로 구한다. 먼저 첫 번째 줄엔 그대로, 두 번째 줄엔 첫 번째 시에 등비를 곱한 값을 나열한다. 즉, :<math>S=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}</math><br /><math>rS=0+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+ar^n</math> 이 후 두 식을 변끼리 빼면, <math>S-rS=a-ar^n</math>이고, 간단히 정리하면 <math>S=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}</math>이다. 그런데 이 식은 <math>r=1</math>일 때는 성립하지 않으며, <math>r=1</math>일 때는 모든 항이 다 같으므로 <math>S=na</math>이다. 무한한 등차수열은 항상 발산하는 것과는 달리 무한한 등비수열은 등비의 값에 따라 수렴하기도 한다. 수렴하기 위한 조건은 <math>\left|r\right|<1</math>이며, 이 외에는 항상 발산한다. 무한 등비수열의 합은 <math>\frac{a}{1-r}</math>이다. <ref><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> 유도과정 <div class="mw-collapsible-content"> <math>S_{n}=\frac{a\left ( {r}^{n}-1 \right )}{r-1}</math>에서 <math>\left | r \right |<1</math>이라면<br /> <math>\require{action} \lim_{n\rightarrow \infty}S_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a\left ( {r}^{n}-1 \right )}{r-1}=\frac{a}{r-1}\mathtip{\lim_{n\rightarrow \infty}\left ( {r}^{n}-1 \right )}{\left | r \right |<1\: \: 이면\: \: \lim_{n\rightarrow \infty}{r}^{n}=0이다.\: \: \: \: \: \: }=\frac{-a}{r-1}=\frac{a}{1-r}\\</math> </div> </div> </ref> 등차수열과 마찬가지로 등비중항이라는 개념이 있다. 연속된 세 항이 등비수열을 이루면, 가운데 항은 나머지 두 항의 곱의 제곱근이다. 즉, <math>a,b,c</math>가 등비수열이라면 <math>b=\sqrt{ac}</math>가 성립한다는 소리. === 조화수열 === 수열의 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열. 자세히 배우지는 않고 이런 수열이 있다는 것만 배운다. 조화중항이라는 개념 역시 존재하는데, 연속된 세 항이 조화수열을 이루면 가운데 항은 나머지 두 항의 산술평균의 역수이다. 즉, 조화수열 <math>a,b,c</math>에 대해 <math>b=\frac{2ac}{a+c}</math>가 성립한다. === 계차수열 === 어떤 수열이 있을 때, 인접한 두 항의 차를 '''계차'''라고 부르며, 그 계차들을 나열한 수열을 계차수열이라 부른다. 원순열을 <math>\left\{a_n\right\}</math>, 계차수열을 <math>\left\{b_n\right\}</math>라 하면, :<math>\begin{align*} a_1 &= a \\ a_2 &=a+b_1 \\ a_3 &= a_2+b_2=a+b_1+b_2 \\ \vdots \end{align*}</math> 가 성립하므로 일반항 <math>a_n</math>은 <math>a_n=a+\sum_{k=1}^{n-1}b_k</math>이다. === 피보나치 수열 === {{본문|피보나치 수열}} == 같이 보기 == *[[부분수열]] *[[급수]] *[[유계]] *[[극한]] {{각주}} [[분류:수열| ]] [[분류:해석학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:본문 (원본 보기) (준보호됨)틀:참고 (원본 보기) (준보호됨)