| 최신판 |
당신의 편집 |
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| {{영어|linear transformation}} | | {{학술}} |
| | {{토막글}} |
| == 정의 == | | == 정의 == |
| 선형사상은 벡터공간 사이의 보존사상이다. 즉, F-vector space들의 카테고리 <math>Vec_F</math>의 morphism을 말한다.
| | [[체 (수학)|체]] <math>F</math> 위의 [[벡터공간]] <math>V,W</math>가 주어지고 <math>L</math>이 <math>V</math>에서 <math>W</math>로의 [[함수 (수학)|함수]]라고 하자. 이때 임의의 <math>c\in F</math>와 <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in V</math>에 대해 |
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| 구체적으로 정의하자면 다음과 같다.
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| [[체 (수학)|체]] <math>F</math> 위의 [[벡터공간]] <math>V,W</math>가 주어지고 <math>L</math>이 <math>V</math>에서 <math>W</math>로의 [[함수]]라고 하자. 이때 임의의 <math>c\in F</math>와 <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in V</math>에 대해 | |
| : <math>L(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=L(\mathbf{v}_1)+L(\mathbf{v}_2)</math> | | : <math>L(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=L(\mathbf{v}_1)+L(\mathbf{v}_2)</math> |
| : <math>L(c\mathbf{v}_1)=cL(\mathbf{v}_1)</math> | | : <math>L(c\mathbf{v}_1)=cL(\mathbf{v}_1)</math> |
| 이면 <math>L</math>를 <math>V</math>에서 <math>W</math>로의 '''선형변환(linear transformation)'''이라고 한다. 만약 <math>V=W</math>이면 '''선형연산자(linear operator)'''라고 한다. | | 이면 <math>L</math>를 <math>V</math>에서 <math>W</math>로의 '''선형변환(linear transformation)'''이라고 한다. |
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| 또는 다음과 같이 대안적으로 정의하기도 한다: 임의의 <math>c_1,c_2\in F</math>와 <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in V</math>에 대해
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| : <math>L(c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2)=c_1 L(\mathbf{v}_1)+c_2L(\mathbf{v}_2)</math>
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| <math>L</math>를 <math>V</math>에서 <math>W</math>로의 선형변환이라고 한다. 두 정의는 동치이다.
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| == 예시 == | | == 예시 == |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
| 이므로 <math>L</math>은 <math>\mathbb{R}^3</math>에서 <math>\mathbb{R}^2</math>로의 선형변환이다. | | 이므로 <math>L</math>은 <math>\mathbb{R}^3</math>에서 <math>\mathbb{R}^2</math>로의 선형변환이다. |
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| 일반적으로 <math>n \times m</math> 행렬 <math>A</math>에 대해, 함수 <math>L:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</math>를
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| : <math>L(\mathbf{x})=A\mathbf{x}</math>
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| 로 정의하면 <math>L</math>은 선형변환이다. 이 사실을 증명하는 것은 행렬의 성질을 이용해 간단히 할 수 있으므로 독자에게 맡긴다.
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| == 시각화 ==
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| 좌표평면의 벡터 <math>\mathbf{u},\mathbf{v}\in \mathbb{R}^2</math>를
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| : <math>\mathbf{u}=\begin{bmatrix}
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| 1\\
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| 0
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| \end{bmatrix},\mathbf{v}=\begin{bmatrix}
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| 0\\
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| 1
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| \end{bmatrix}</math>
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| 로 정의하고, 집합 <math>S</math>를
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| : <math>S=\{a\mathbf{u}+b\mathbf{v}\in \mathbb{R}^2 : 0\le a \le 1,0\le b\le 1\}</math>
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| 로 정의하자. 선형변환 <math>L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math>를
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| : <math>L(\mathbf{x})=A\mathbf{x}</math>
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| 로 정의하자. 아래 표는 <math>L</math>이 주어졌을 때 <math>S</math>의 상(image)을 시각적으로 나타낸 것이다.
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| {| class="wikitable"
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| ! style="width:33.34%" | 원본 또는 항등변환, <math>A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}</math>
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| ! style="width:33.33%" | 2배 확대, <math>A=\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}</math>
| |
| ! style="width:33.33%" | 1/2배로 축소, <math>A=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{bmatrix}</math>
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| |-
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| | [[파일:linearmap original.svg]]
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| | [[파일:linearmap scaling by 2.svg]]
| |
| | [[파일:linearmap scaling by half.svg]]
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| |-
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| ! x축 대칭, <math>A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}</math>
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| ! y축 대칭, <math>A=\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}</math>
| |
| ! 시계방향으로 30° 회전, <math>A=\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}</math>
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| |-
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| | [[파일:linearmap reflecting by x axis.svg]]
| |
| | [[파일:linearmap reflecting by y axis.svg]]
| |
| | [[파일:Linearmap rotating by angle neg 30.svg]]
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| |}
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| == 성질 == | | == 성질 == |
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| 이므로 원하는 결론을 얻는다. | | 이므로 원하는 결론을 얻는다. |
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| == 선형변환의 핵과 치역 == | | == 선형변환의 핵과 상 == |
| 체 <math>F</math> 위의 벡터공간 <math>V,W</math>와 선형변환 <math>L:V\to W</math>가 주어졌다고 하자. 이때, [[집합]] | | 체 <math>F</math> 위의 벡터공간 <math>V,W</math>와 선형변환 <math>L:V\to W</math>가 주어졌다고 하자. 이때, [[집합 (수학)|집합]] |
| : <math>\ker L = \{\mathbf{v}\in V: L(\mathbf{v})=\mathbf{0}_W\}</math> | | : <math>\ker L = \{\mathbf{v}\in V: L(\mathbf{v})=\mathbf{0}\}</math> |
| 을 <math>L</math>의 핵(kernel)이라고 하고, 집합 | | 을 <math>L</math>의 핵(kernel)이라고 하고, 집합 |
| : <math>\operatorname{ran}L = \{\mathbf{w}\in W: \mathbf{w}=L(\mathbf{v})\text{ for some }\mathbf{v}\in V\}</math> | | : <math>\operatorname{Image}L = \{\mathbf{w}\in W: \mathbf{w}=L(\mathbf{v})\text{ for some }\mathbf{v}\in V\}</math> |
| 을 <math>L</math>의 치역(range)이라고 한다. | | 을 <math>L</math>의 상(image)이라고 한다. |
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| <math>\ker L</math>은 <math>V</math>의 [[부분공간]]이다. <math>\ker L</math>의 임의의 두 원소를 <math>\mathbf{u},\mathbf{v}</math>라고 하면 <math>\ker L</math>의 정의에 의해 <math>L(\mathbf{u})=L(\mathbf{v})=\mathbf{0}</math>이다. 그러면 선형변환의 정의에 의해 <math>L(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{0}</math>이므로 <math>\mathbf{u}+\mathbf{v}\in \ker L</math>이다. 또한 임의의 <math>c\in F</math>에 대해 | | <math>\ker L</math>은 <math>V</math>의 [[부분공간]]이다. <math>\ker L</math>의 임의의 두 원소를 <math>\mathbf{u},\mathbf{v}</math>라고 하면 <math>\ker L</math>의 정의에 의해 <math>L(\mathbf{u})=L(\mathbf{v})=\mathbf{0}</math>이다. 그러면 선형변환의 정의에 의해 <math>L(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{0}</math>이므로 <math>\mathbf{u}+\mathbf{v}\in \ker L</math>이다. 또한 임의의 <math>c\in F</math>에 대해 |
| : <math>\begin{align} | | : <math>\begin{align} |
| L(c\mathbf{v})&=cL(\mathbf{v})\\ | | L(c\mathbf{v})&=cL(\mathbf{v})\\ |
| &=c\mathbf{0}_W\\ | | &=c\mathbf{0}\\ |
| &=\mathbf{0}_W | | &=\mathbf{0} |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
| 이므로 <math>c\mathbf{v}\in \ker L</math>이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다. | | 이므로 <math>c\mathbf{v}\in \ker L</math>이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다. |
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| <math>\operatorname{ran}L</math>는 <math>W</math>의 부분공간이다. <math>\operatorname{ran} L</math>의 임의의 두 원소를 <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2</math>라고 하면 <math>\operatorname{ran}L</math>의 정의에 의해 <math>\mathbf{v}_1=L(\mathbf{u}_1),\mathbf{v}_2=L(\mathbf{u}_2)</math>인 <math>\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\in V</math>가 존재한다. 그러면 | | <math>\operatorname{Image}L</math>는 <math>W</math>의 부분공간이다. <math>\operatorname{Image} L</math>의 임의의 두 원소를 <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2</math>라고 하면 <math>\operatorname{Image}L</math>의 정의에 의해 <math>\mathbf{v}_1=L(\mathbf{u}_1),\mathbf{v}_2=L(\mathbf{u}_2)</math>인 <math>\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\in V</math>가 존재한다. 그러면 |
| : <math>\begin{align} | | : <math>\begin{align} |
| \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2&=L(\mathbf{u}_1)+L(\mathbf{u}_2)\\ | | \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2&=L(\mathbf{u}_1)+L(\mathbf{u}_2)\\ |
| &=L(\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2) | | &=L(\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2) |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
| 이고 <math>\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2\in V</math>이므로 <math>\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2=L(\mathbf{u}^*)</math>인 <math>\mathbf{u}^*\in V</math>가 존재하고, 그러므로 <math>\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\in \operatorname{ran} L</math>이다. 또한 임의의 <math>c\in F</math>에 대해 | | 이고 <math>\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2\in V</math>이므로 <math>\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2=L(\mathbf{u}^*)</math>인 <math>\mathbf{u}^*\in V</math>가 존재하고, 그러므로 <math>\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\in \operatorname{Image} L</math>이다. 또한 임의의 <math>c\in F</math>에 대해 |
| : <math>\begin{align} | | : <math>\begin{align} |
| c\mathbf{v}_1&=cL(\mathbf{u}_1)\\ | | c\mathbf{v}_1&=cL(\mathbf{u}_1)\\ |
| &=L(c\mathbf{u}_1) | | &=L(c\mathbf{u}_1) |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
| 이고 <math>c\mathbf{u}_1\in V</math>이므로 <math>c\mathbf{v}_1=L(\mathbf{u}^*)</math>인 <math>\mathbf{u}^*\in V</math>가 존재하고, 그러므로 <math>c\mathbf{v}_1\in \operatorname{ran} L</math>이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다. | | 이고 <math>c\mathbf{u}_1\in V</math>이므로 <math>c\mathbf{v}_1=L(\mathbf{u}^*)</math>인 <math>\mathbf{u}^*\in V</math>가 존재하고, 그러므로 <math>c\mathbf{v}_1\in \operatorname{Image} L</math>이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다. |
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| <math>\ker L</math>와 <math>\operatorname{ran} L</math> 사이에는 다음 관계식이 성립한다.
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| : <math>\dim V=\dim \ker L + \dim \operatorname{ran} L</math>
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| <math>\dim \ker L=k</math>라고 하자. <math>\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots, \mathbf{v}_k\}</math>를 <math>\ker K</math>의 기저라고 하자. <math>\dim V=n</math>이라 하면, <math>\ker K</math>가 <math>V</math>의 부분공간이므로 <math>\mathbf{v}_{k+1},\mathbf{v}_{k+2},\cdots, \mathbf{v}_n\in V</math>를 적당히 골라 <math>\{\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_k,\mathbf{v}_{k+1},\cdots,\mathbf{v}_n\}</math>이 <math>V</math>의 기저가 되도록 할 수 있다. 이제 <math>\mathbf{w}\in \operatorname{ran}L</math>이라 하면 <math>\operatorname{ran}L</math>의 정의에 의해
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| : <math>\mathbf{w}=L(\mathbf{v})</math>
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| 인 <math>\mathbf{v}\in V</math>가 존재한다. 이때 상수 <math>c_1,\cdots,c_n</math>에 대해
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| : <math>\mathbf{v}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k \mathbf{v}_k+c_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}+\cdots+c_n\mathbf{v}_n</math>
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| 이므로
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| : <math>\begin{align}
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| L(\mathbf{v})&=L(c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k \mathbf{v}_k+c_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}+c_n\mathbf{v}_n)\\
| |
| &=c_1L(\mathbf{v}_1)+\cdots++c_k L(\mathbf{v}_k)+c_{k+1}L(\mathbf{v}_{k+1})+\cdots+c_nL(\mathbf{v}_n)\\
| |
| &=\mathbf{0}_W+\cdots+\mathbf{0}_W+c_{k+1}L(\mathbf{v}_{k+1})+\cdots+c_nL(\mathbf{v}_n)\\
| |
| &=c_{k+1}L(\mathbf{v}_{k+1})+\cdots+c_nL(\mathbf{v}_n)
| |
| \end{align}</math>
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| 이다. 그러므로 <math>\{L(\mathbf{v}_{k+1}),\cdots,L(\mathbf{v}_n)\}</math>은 <math>\operatorname{ran}L</math>을 생성한다. 이제 <math>L(\mathbf{v}_{k+1}),\cdots,L(\mathbf{v}_n)</math>가 선형독립임을 보이자. 방정식
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| : <math>x_{k+1} L(\mathbf{v}_{k+1})+\cdots+x_n L(\mathbf{v}_n)=\mathbf{0}_W</math>
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| 에 대해
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| : <math>L(x_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}+\cdots+x_n\mathbf{v}_n)=\mathbf{0}_W</math>
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| 이므로
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| : <math>x_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}+\cdots+x_n\mathbf{v}_n\in \ker L</math>
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| 이다. 따라서 상수 <math>d_1,\cdots,d_k</math>에 대해
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| : <math>x_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}+\cdots+x_n\mathbf{v}_n=d_1 \mathbf{v}_1+\cdots+d_k \mathbf{v}_k</math>
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| 이며 <math>\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_n</math>은 선형독립이므로 <math>x_{k+1}=\cdots=x_n=d_1=\cdots=d_k=0</math>이어야 한다. 따라서 <math>L(\mathbf{v}_{k+1}),\cdots,L(\mathbf{v}_n)</math>는 선형독립이며 <math>\{L(\mathbf{v}_{k+1}),\cdots,L(\mathbf{v}_n)\}</math>은 <math>\operatorname{ran}L</math>의 기저이고, <math>\dim\operatorname{ran}L=n-k</math>임을 안다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.
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| == 같이 보기 == | | == 같이 보기 == |
