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Linear Algebra | Linear Algebra | ||
線型代數學 | 線型代數學 | ||
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즉 시작은 그냥 선형일차방정식을 능률적으로 풀기 위한 '행렬'이라는 개념으로부터 시작된 것으로, 이거 해결하려 만들어진 곱하기 개념에 대해서 깊이 파고들어 보면 상당히 흥미로운 성질을 이끌어 낼 수 있다는 것이 선형대수학의 가장 큰 특징이다. | 즉 시작은 그냥 선형일차방정식을 능률적으로 풀기 위한 '행렬'이라는 개념으로부터 시작된 것으로, 이거 해결하려 만들어진 곱하기 개념에 대해서 깊이 파고들어 보면 상당히 흥미로운 성질을 이끌어 낼 수 있다는 것이 선형대수학의 가장 큰 특징이다. | ||
기초 선형대수학에서 주로 하는 행위 중 하나는 바로 대각화(diagonalization)이다. 대각화란 고딩들도 알기 쉽게 설명하자면 n by n 정사각행렬에 대해 어떤 조작을 가하여 1행 1열부터 2행 2열, 3행 3열, ..., n행 n열 까지 대각선상에 있는 n개의 성분들을 제외한 나머지 성분은 전부 0으로 만드는 것을 말한다. 선형사상 관점에서 보면 이러한 조작은 기저만 변화했을 뿐 같은 함수로 봐도 무방하다. 다시 고딩들의 눈높이로 돌아가서 설명해 본다면 고등학교때 배우는 타원, 쌍곡선, 포물선 등의 이차곡선은 (모두 표준기저가 바탕이 되었기 때문에) 기본적으로 기울어진 형태를 바로 배우는 일은 거의 없다. | 기초 선형대수학에서 주로 하는 행위 중 하나는 바로 대각화(diagonalization)이다. 대각화란 고딩들도 알기 쉽게 설명하자면 n by n 정사각행렬에 대해 어떤 조작을 가하여 1행 1열부터 2행 2열, 3행 3열, ..., n행 n열 까지 대각선상에 있는 n개의 성분들을 제외한 나머지 성분은 전부 0으로 만드는 것을 말한다. 선형사상 관점에서 보면 이러한 조작은 기저만 변화했을 뿐 같은 함수로 봐도 무방하다. 다시 고딩들의 눈높이로 돌아가서 설명해 본다면 고등학교때 배우는 타원, 쌍곡선, 포물선 등의 이차곡선은 (모두 표준기저가 바탕이 되었기 때문에) 기본적으로 기울어진 형태를 바로 배우는 일은 거의 없다. 이런 정상적인(?) 타원을 반시계방향으로 조금 회전시키기만 해도 식이 더러워지기 시작하는데 대각화(더 정확히는 orthogonal diagonalization)를 통해서 고등학교때 배운 형태의 깔끔한 식으로 다시 바꾸어줄 수 있다. 이건 대각화와 관련된 응용의 아주 일부분에 대한 이야기이고 더욱 더 무궁무진한 이야기가 숨어있으므로 알기원한다면 모두 대학에 와서 선형대수학을 수강하라!...는 농담이다. 여튼 모든 행렬이 대각화가 되었다면 수학과에서 선형대수학을 1년 내내 배우는 일은 없었지 않았을까 싶을 정도이고 선대를 단학기 강좌로 들은 사람들도 배우는 고유벡터 개념조차도 eigen-vector 자체가 행렬을 대각화 시킬 수 있는 좋은 기저로 작용할 수도 있다는 점을 생각해보면 선형대수학 전체를 통틀어 대각화를 빼놓고 이야기할 수는 없는 것이다. | ||
==뭐가 그렇게 중요한 걸까?== | ==뭐가 그렇게 중요한 걸까?== | ||
일단, 선형대수는 ‘선형변환’이라는 개념을 다루는 학문이며, 이 물건은 매우 다양한 현상을 표현하는 데 사용될 수 있다. | 일단, 선형대수는 ‘선형변환’이라는 개념을 다루는 학문이며, 이 물건은 매우 다양한 현상을 표현하는 데 사용될 수 있다. | ||
* 3차원에 있는 2차원 그림을 인간이 보는 시각으로 [[사영]]하는 행위는 일종의 선형변환이다. 따라서 선형대수는 [[컴퓨터 그래픽]]에 널리 사용된다. | * 3차원에 있는 2차원 그림을 인간이 보는 시각으로 [[사영]]하는 행위는 일종의 선형변환이다. 따라서 선형대수는 [[컴퓨터 그래픽]]에 널리 사용된다. | ||
* [[넷플릭스]]와 같은 영화 스트리밍 사이트에서 영화 추천 서비스를 할 때 선형대수를 적극 활용한다. 예를 들어, 사용자가 ‘다크 나이트’에 4.5점을, ‘과속스캔들’에 1.0점을 줬다면 ‘트랜스포머’에는 몇 점을 줄까? 라는 질문에 대해 컴퓨터가 자동으로 대답하게 함으로써 적절한 추천목록을 만드는 것이다. 이를 위하여 큰 ''N''에 대해 ''N''차원 선형대수를 이용하여 특정 값을 최대화·최소화하는 접근방식이 쓰이곤 한다. | * [[넷플릭스]]와 같은 영화 스트리밍 사이트에서 영화 추천 서비스를 할 때 선형대수를 적극 활용한다. 예를 들어, 사용자가 ‘다크 나이트’에 4.5점을, ‘과속스캔들’에 1.0점을 줬다면 ‘트랜스포머’에는 몇 점을 줄까? 라는 질문에 대해 컴퓨터가 자동으로 대답하게 함으로써 적절한 추천목록을 만드는 것이다. 이를 위하여 큰 ''N''에 대해 ''N''차원 선형대수를 이용하여 특정 값을 최대화·최소화하는 접근방식이 쓰이곤 한다. | ||
* 컴퓨터가 사물을 인지하게 하는 인공지능의 일종인 [[컴퓨터 비전]]에서, 카메라가 받는 영상의 ‘모서리’를 판별할 때 선형대수를 사용한다. 이미지를 픽셀단위로 본 후 x, y 방향의 명도 변화를 2차원 행렬에 담고 이 행렬을 대각화함으로써 명도변화가 큰 방향을 감지할 수 있는 것이다. 즉 ‘''다양한 정보를 행렬에 담을 수 있다''’는 것과 ‘''회전 역시 선형변환이므로 선형변환은 다양한 현상을 모델링할 수 있다''’는 것이 키 포인트인 것이다. 소위 [https://en.wikipedia.org/wiki/Harris_affine_region_detector ‘해리스의 모서리 탐지기’]에 대해 찾아보면 더 자세한 정보를 얻을 수 있다. | * 컴퓨터가 사물을 인지하게 하는 인공지능의 일종인 [[컴퓨터 비전]]에서, 카메라가 받는 영상의 ‘모서리’를 판별할 때 선형대수를 사용한다. 이미지를 픽셀단위로 본 후 x, y 방향의 명도 변화를 2차원 행렬에 담고 이 행렬을 대각화함으로써 명도변화가 큰 방향을 감지할 수 있는 것이다. 즉 ‘''다양한 정보를 행렬에 담을 수 있다''’는 것과 ‘''회전 역시 선형변환이므로 선형변환은 다양한 현상을 모델링할 수 있다''’는 것이 키 포인트인 것이다. 소위 [https://en.wikipedia.org/wiki/Harris_affine_region_detector ‘해리스의 모서리 탐지기’]에 대해 찾아보면 더 자세한 정보를 얻을 수 있다. | ||
* 현실 세계를 아주 정확하게 모델링하는 [[양자역학]]에서는 ‘무한차원 선형대수’를 사용한다. 양자역학에서, 모든 것은 파동함수로 나타낼 수 있고, 각 물리량에는 대응되는 작용소(operator)가 있어서 이 작용소가 파동함수에 작용한다. 이 작용소는 에르미트 작용소이므로 직교기저로써 대각화가 가능하다. 따라서 파동함수를 이 기저함수들의 선형결합으로 나타내어 원하는 물리량의 관측값을 쉽게 설명할 수 있다. | * 현실 세계를 아주 정확하게 모델링하는 [[양자역학]]에서는 ‘무한차원 선형대수’를 사용한다. 양자역학에서, 모든 것은 파동함수로 나타낼 수 있고, 각 물리량에는 대응되는 작용소(operator)가 있어서 이 작용소가 파동함수에 작용한다. 이 작용소는 에르미트 작용소이므로 직교기저로써 대각화가 가능하다. 따라서 파동함수를 이 기저함수들의 선형결합으로 나타내어 원하는 물리량의 관측값을 쉽게 설명할 수 있다. | ||
* 수학에서... 너무 많이 쓰인다 | |||
* 수학에서... 너무 많이 쓰인다. | |||
** [[군 (수학)|군]]을 더 이해하기 쉬운 대상으로 공부하기 위하여 동형(isomorphic)인 행렬군을 생각하자는 것이 소위 [[표현론]]이다. | ** [[군 (수학)|군]]을 더 이해하기 쉬운 대상으로 공부하기 위하여 동형(isomorphic)인 행렬군을 생각하자는 것이 소위 [[표현론]]이다. | ||
** 선형대수에서 다루는 대상인 [[벡터공간]]의 일반화가 [[가군 (수학)|가군(module)]]인데, 가군의 개념은 위상수학(호몰로지 군들은 가군들이다), 대수기하(O_X 가군의 고려 [[추가바람]]), 정수론(새로운 수체계를 만들기 위해 fractional ideal을 만드는데, fractional ideal은 유한생성 가군이다), 등등 너무 많은 곳에서 등장한다. | ** 선형대수에서 다루는 대상인 [[벡터공간]]의 일반화가 [[가군 (수학)|가군(module)]]인데, 가군의 개념은 위상수학(호몰로지 군들은 가군들이다), 대수기하(O_X 가군의 고려 [[추가바람]]), 정수론(새로운 수체계를 만들기 위해 fractional ideal을 만드는데, fractional ideal은 유한생성 가군이다), 등등 너무 많은 곳에서 등장한다. | ||
이 이외에도 정말 다양하게 쓰인다. {{ㅊ|[[추가바람]]}} | 이 이외에도 정말 다양하게 쓰인다. {{ㅊ|[[추가바람]]}} | ||
== 선형대수학의 주제 == | == 선형대수학의 주제 == | ||
* [[벡터공간|벡터공간(Vector space)]] | * [[벡터공간|벡터공간(Vector space)]] | ||
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** 벡터공간의 [[기저#차원|차원(dimension)]] | ** 벡터공간의 [[기저#차원|차원(dimension)]] | ||
** 몫공간(Quotient space) | ** 몫공간(Quotient space) | ||
* [[행렬|행렬(matrix)]] | * [[행렬 (수학)|행렬(matrix)]] | ||
** [[가우스 소거법|가우스 소거법(Gaussian elimination)]] | ** [[가우스 소거법|가우스 소거법(Gaussian elimination)]] | ||
** 행 간소 사다리꼴(Row‐reduced echelon form) | ** 행 간소 사다리꼴(Row‐reduced echelon form) | ||
** | ** 계수(階數) 정리(Rank theorem) | ||
* [[선형사상|선형사상(Linear transformation)]] | * [[선형사상|선형사상(Linear transformation)]] | ||
** [[차원 정리|차원 정리(Dimension theorem)]] | ** [[차원 정리|차원 정리(Dimension theorem)]] | ||
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== 학부 선형대수학 == | == 학부 선형대수학 == | ||
*[[산업공학]]이나 [[경영학]]에서 OR(경영과학)을 하는데 이 선형대수가 기초가 된다. 최적값을 찾아내는 방법인데, 사실 3×3행렬 같은 경우에는 선형대수를 몰라도 그냥 고등학교 때 배운 가우스 소거법 같은 것을 써도 되지만, 미지수가 5개를 넘어가기 시작하면서는 정신이 아득해지기 시작한다. 다만 기하학적으로 보면 모든 선이 다 만날 필요는 없고 각 선들이 교차하는 | *[[산업공학]]이나 [[경영학]]에서 OR(경영과학)을 하는데 이 선형대수가 기초가 된다. 최적값을 찾아내는 방법인데, 사실 3×3행렬 같은 경우에는 선형대수를 몰라도 그냥 고등학교 때 배운 가우스 소거법 같은 것을 써도 되지만, 미지수가 5개를 넘어가기 시작하면서는 정신이 아득해지기 시작한다. 다만 기하학적으로 보면 모든 선이 다 만날 필요는 없고 각 선들이 교차하는 꼭지점의 위치만 확인하면 되기는 하는데 이쯤되면 이미 정줄을 놓는 상황이 되게 된다. 물론 [[엑셀]]의 해찾기 기능 같은 것으로 순식간에 답을 구할 수는 있겠지만, 문제는 시험문제는 {{ㅊ|멀쩡한 컴퓨터를 냅두고}}10~15개쯤 되는 미지수를 던져놓고 사람의 손으로 답을 구하라는 문제가 나오기 때문에 결국 토가 나오는 경우가 많다. | ||
[[분류:대수학]] | [[분류:대수학]] | ||
[[분류:추상대수학]] | [[분류:추상대수학]] | ||
[[분류:선형대수학 | [[분류:선형대수학]] | ||