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[[방정식]]과 마찬가지로, 부등식은 그 자체로는 [[명제]]가 될 수 없다. 조건에 따라 참, 거짓이 달라지기 때문. 하지만 [[방정식]]에 [[항등식]]이 있듯이, 부등식에도 항상 성립하는 부등식인 [[절대부등식]]이 존재한다. | [[방정식]]과 마찬가지로, 부등식은 그 자체로는 [[명제]]가 될 수 없다. 조건에 따라 참, 거짓이 달라지기 때문. 하지만 [[방정식]]에 [[항등식]]이 있듯이, 부등식에도 항상 성립하는 부등식인 [[절대부등식]]이 존재한다. | ||
한국의 교육과정에선 [[방정식]]을 배운 뒤 세트로 같이 배우게 된다. 방정식을 푸는 데 익숙한 학생들은 "뭐야? 똑같네?"라고 생각하게 되지만 뒤로 갈수록 방정식에서 쓰이는 기술과는 다른 기술이 쓰여 차이점이 벌어지게 된다. 사실 수학 경시대회를 봐도 방정식을 푸는 유형은 '''쉬운''' 문제에 속하고, 부등식을 증명하는 문제는 '''어려운''' 문제에 속한다. {{--|하지만 사기 기술 [[미적분]]이 등장하면 어떨까?}} 또한 한국 교육과정에선 부등식을 직관적으로만 설명하는데, 부등식 <math>a< b</math>의 '''정의'''는 <math>b-a> 0</math>이다. 다른 것이 하나도 없어보이지만 의외로 중요하다. | 한국의 교육과정에선 [[방정식]]을 배운 뒤 세트로 같이 배우게 된다. 방정식을 푸는 데 익숙한 학생들은 "뭐야? 똑같네?"라고 생각하게 되지만 뒤로 갈수록 방정식에서 쓰이는 기술과는 다른 기술이 쓰여 차이점이 벌어지게 된다. 사실 수학 경시대회를 봐도 방정식을 푸는 유형은 '''쉬운''' 문제에 속하고, 부등식을 증명하는 문제는 '''어려운''' 문제에 속한다. {{--|하지만 사기 기술 [[미적분]]이 등장하면 어떨까?}} 또한 한국 교육과정에선 부등식을 직관적으로만 설명하는데, 부등식 <math>a< b</math>의 '''정의'''는 <math>b-a> 0</math>이다. 다른 것이 하나도 없어보이지만 의외로 중요하다. | ||
== 성질 == | == 성질 == | ||
앞으로 나오는 모든 문자는 특별한 말이 없는 한 모두 임의의 [[실수]]이다. 또한 특별한 말이 없는 한 다른 부등호 기호에도 모두 성립하는 성질이다. | 앞으로 나오는 모든 문자는 특별한 말이 없는 한 모두 임의의 [[실수]]이다. 또한 특별한 말이 없는 한 다른 부등호 기호에도 모두 성립하는 성질이다. | ||
# 추이율: <math>a\leq b, b\leq c</math>이면 <math>a\leq c</math>가 성립한다. 단, 여기서 어느 하나라도 강부등호<ref> Strict Inequality. 등호가 들어가지 않은 <math><</math>나 <math>></math>를 뜻한다. 더 좋은 명칭 있으면 수정바람.</ref>가 들어가면 결과에도 강부등호가 쓰인다.<ref>예시로, <math>a< b, b\leq c</math>이면 <math>a< c</math></ref> 추이율은 모든 부등호 기호에 대해 성립하나, 반사율과 대칭율은 부등호 기호에 따라서 성립하기도 하고 성립하지 않기도 한다. 반사율은 <math>\leq,\geq</math>의 경우만, 대칭율은 등호가 성립할 때만 성립한다. 따라서 부등호는 [[동치관계]]가 아니다. | # 추이율: <math>a\leq b, b\leq c</math>이면 <math>a\leq c</math>가 성립한다. 단, 여기서 어느 하나라도 강부등호<ref> Strict Inequality. 등호가 들어가지 않은 <math><</math>나 <math>></math>를 뜻한다. 더 좋은 명칭 있으면 수정바람.</ref>가 들어가면 결과에도 강부등호가 쓰인다.<ref>예시로, <math>a< b, b\leq c</math>이면 <math>a< c</math></ref> 추이율은 모든 부등호 기호에 대해 성립하나, 반사율과 대칭율은 부등호 기호에 따라서 성립하기도 하고 성립하지 않기도 한다. 반사율은 <math>\leq,\geq</math>의 경우만, 대칭율은 등호가 성립할 때만 성립한다. 따라서 부등호는 [[동치관계]]가 아니다. | ||
# [[덧셈]], 뺄셈: <math>a\leq b</math>일 때, <math>a+c\leq b+c, a-c\leq b-c</math>이다. | # [[덧셈]], 뺄셈: <math>a\leq b</math>일 때, <math>a+c\leq b+c, a-c\leq b-c</math>이다. | ||
# [[곱셈]], 나눗셈: <math>a\leq b</math>이고 <math>c>0</math>이면 <math>ac\leq bc,\,\frac{a}{c}\leq\frac{b}{c}</math>가, 만약 <math>c<0</math>이면 <math>ac\geq bc,\,\frac{a}{c}\geq\frac{b}{c}</math>가 성립한다. 특히, <math>a\leq b</math>이면 <math>-a\geq -b</math>가 성립한다. 알아놔야 할 점은 양변에 음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀐다는 것이다. | # [[곱셈]], 나눗셈: <math>a\leq b</math>이고 <math>c>0</math>이면 <math>ac\leq bc,\,\frac{a}{c}\leq\frac{b}{c}</math>가, 만약 <math>c<0</math>이면 <math>ac\geq bc,\,\frac{a}{c}\geq\frac{b}{c}</math>가 성립한다. 특히, <math>a\leq b</math>이면 <math>-a\geq -b</math>가 성립한다. 알아놔야 할 점은 양변에 음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀐다는 것이다. | ||
# [[역수]]: <math>0< a\leq b</math>이면, <math>0<\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}</math>가, <math>a\leq b<0</math>이면 <math>\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}<0</math>이, 그리고 <math>a< 0< b</math>이면 <math>\frac{1}{a}<0<\frac{1}{b}</math>가 성립한다. | # [[역수]]: <math>0< a\leq b</math>이면, <math>0<\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}</math>가, <math>a\leq b<0</math>이면 <math>\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}<0</math>이, 그리고 <math>a< 0< b</math>이면 <math>\frac{1}{a}<0<\frac{1}{b}</math>가 성립한다. | ||
# 보존성: 증가[[함수]]를 합성해도 부등호의 방향은 유지된다. 증가함수를 예로 들어보자. 함수 <math>f</math>가 단조 증가 함수라 가정하고,<ref><math>x_1< x_2</math>이면 <math>f\left(x_1\right)\leq f\left(x_2\right)</math>인 함수</ref> <math>a\leq b</math>라 하자. 그럼 <math>f\left(a\right)\leq f\left(b\right)</math>가 그대로 성립한다. <math>a< b</math>여도 그대로 성립한다. 만약 함수 <math>f</math>가 강증가 함수이고,<ref><math>x_1< x_2</math>이면 <math>f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)</math>인 함수</ref> <math>a\leq b</math>이면 <math>f\left(a\right)\leq f\left(b\right)</math>, <math>a< b</math>이면 <math>f\left(a\right)< f\left(b\right)</math>가 성립한다. <math>f</math>가 감소함수이면 부등호 방향이 뒤집힌다. 참고로 이를 이용해서 일부 부등식을 쉽게 증명할 수 있다. 부등식에 지수가 많으면 [[로그]]을 이용, 그후 [[미분]]을 사용하는 식으로. | # 보존성: 증가[[함수 (수학)|함수]]를 합성해도 부등호의 방향은 유지된다. 증가함수를 예로 들어보자. 함수 <math>f</math>가 단조 증가 함수라 가정하고,<ref><math>x_1< x_2</math>이면 <math>f\left(x_1\right)\leq f\left(x_2\right)</math>인 함수</ref> <math>a\leq b</math>라 하자. 그럼 <math>f\left(a\right)\leq f\left(b\right)</math>가 그대로 성립한다. <math>a< b</math>여도 그대로 성립한다. 만약 함수 <math>f</math>가 강증가 함수이고,<ref><math>x_1< x_2</math>이면 <math>f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)</math>인 함수</ref> <math>a\leq b</math>이면 <math>f\left(a\right)\leq f\left(b\right)</math>, <math>a< b</math>이면 <math>f\left(a\right)< f\left(b\right)</math>가 성립한다. <math>f</math>가 감소함수이면 부등호 방향이 뒤집힌다. 참고로 이를 이용해서 일부 부등식을 쉽게 증명할 수 있다. 부등식에 지수가 많으면 [[로그]]을 이용, 그후 [[미분]]을 사용하는 식으로. | ||
# <math>a< b</math>라 하자. 그럼 이는 적당한 [[실수]] <math>r> 0</math>이 존재하여 <math>a+r=b</math>를 만족함과 동치이다. 만약 <math>a\leq b</math>이면 적당한 실수 <math>r\geq0</math>이 존재하여 <math>a+r=b</math>를 만족함과 동치. 이를 사용하여 부등식을 [[방정식]] 문제로 바꿀 수 있다. | # <math>a< b</math>라 하자. 그럼 이는 적당한 [[실수]] <math>r> 0</math>이 존재하여 <math>a+r=b</math>를 만족함과 동치이다. 만약 <math>a\leq b</math>이면 적당한 실수 <math>r\geq0</math>이 존재하여 <math>a+r=b</math>를 만족함과 동치. 이를 사용하여 부등식을 [[방정식]] 문제로 바꿀 수 있다. | ||
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=== 일변수 부등식 === | === 일변수 부등식 === | ||
중학교, 고등학교에서 주로 풀게 되는 부등식. 식으로는 <math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0>0</math> 혹은 <math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\geq0</math>의 형태의 부등식을 말한다. | 중학교, 고등학교에서 주로 풀게 되는 부등식. 식으로는 <math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0>0</math> 혹은 <math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\geq0</math>의 형태의 부등식을 말한다. | ||
==== | ==== 일차 부등식 ==== | ||
<math>ax+b< 0</math> 혹은 <math>ax+b\leq0</math> 형태의 부등식. 일차방정식과 마찬가지로 세 가지 경우로 나뉜다. | <math>ax+b< 0</math> 혹은 <math>ax+b\leq0</math> 형태의 부등식. 일차방정식과 마찬가지로 세 가지 경우로 나뉜다. | ||
# <math>a\neq0</math>: <math>b</math>를 넘겨준뒤 <math>a</math>를 양변에 나눠주면 된다. 이 때 <math>a</math>가 양수냐 음수냐에 따라 부등호의 방향이 바뀌므로 주의. | # <math>a\neq0</math>: <math>b</math>를 넘겨준뒤 <math>a</math>를 양변에 나눠주면 된다. 이 때 <math>a</math>가 양수냐 음수냐에 따라 부등호의 방향이 바뀌므로 주의. | ||
# <math>a=0, b< 0</math>: <math>x</math>값에 관계없이 항상 성립하므로 [[절대부등식]]이 된다. | # <math>a=0, b< 0</math>: <math>x</math>값에 관계없이 항상 성립하므로 [[절대부등식]]이 된다. | ||
# <math>a=0, b\geq0</math>: <math>x</math>값에 관계없이 항상 성립하지 않으므로 모순이 된다. | # <math>a=0, b\geq0</math>: <math>x</math>값에 관계없이 항상 성립하지 않으므로 모순이 된다. | ||
==== | ==== 이차 부등식 ==== | ||
<math>ax^2+bx+c< 0</math> 혹은 <math>ax^2+bx+c\leq0</math> 형태의 부등식. 여기서 부터 방정식과 풀이법이 조금씩 달라지기 시작한다. 풀이는 아래와 같다. | <math>ax^2+bx+c< 0</math> 혹은 <math>ax^2+bx+c\leq0</math> 형태의 부등식. 여기서 부터 방정식과 풀이법이 조금씩 달라지기 시작한다. 풀이는 아래와 같다. | ||
# 먼저 <math>x^2</math>의 계수를 양수로 바꿔준다. | # 먼저 <math>x^2</math>의 계수를 양수로 바꿔준다. | ||
# <math>ax^2+bx+c=0</math>의 근을 구한다. 근을 <math>\alpha, \beta</math>라 하자. (단 <math>\alpha\leq\beta</math>) | # <math>ax^2+bx+c=0</math>의 근을 구한다. 근을 <math>\alpha, \beta</math>라 하자. (단 <math>\alpha\leq\beta</math>) | ||
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==== 삼차부등식 ==== | ==== 삼차부등식 ==== | ||
[[방정식]]은 근의 공식이 4차까지 존재하기 때문에 위 이차 부등식의 풀이와 비슷하게 해법 [[알고리즘]]을 짤 수 있지만 그러기엔 너무 비효율적이다. 여기서 부터는 함수의 그래프를 적극 활용하게 된다. 풀이 방법은 아래와 같다. | [[방정식]]은 근의 공식이 4차까지 존재하기 때문에 위 이차 부등식의 풀이와 비슷하게 해법 [[알고리즘]]을 짤 수 있지만 그러기엔 너무 비효율적이다. 여기서 부터는 함수의 그래프를 적극 활용하게 된다. 풀이 방법은 아래와 같다. | ||
# 부등식을 방정식으로 바꿔준 뒤 근을 전부 구한다. | # 부등식을 방정식으로 바꿔준 뒤 근을 전부 구한다. | ||
# [[수직선]]에 근을 찍고 그래프의 개형을 그려준다. | # [[수직선]]에 근을 찍고 그래프의 개형을 그려준다. | ||
# 부등호가 <math><</math>나 <math>\leq</math>였다면 수직선 아랫부분에 해당하는 <math>x</math>값이 답. | # 부등호가 <math><</math>나 <math>\leq</math>였다면 수직선 아랫부분에 해당하는 <math>x</math>값이 답. | ||
# 부등호가 <math>></math>나 <math>\geq</math>였다면 수직선 윗부분에 해당하는 <math>x</math>값이 답. { | # 부등호가 <math>></math>나 <math>\geq</math>였다면 수직선 윗부분에 해당하는 <math>x</math>값이 답. {{--|[[참 쉽죠?]]}} | ||
[[파일:부등식 1.jpg]] | [[파일:부등식 1.jpg]] | ||
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<math>\left(x+6\right)\left(x-1\right)\left(x-4\right)< 0</math>을 예로 들면, 위 그래프에서 <math>x</math>축 아래에 해당하는 부분, 즉 <math>x< -6, 1< x< 4</math>가 답이 된다. | <math>\left(x+6\right)\left(x-1\right)\left(x-4\right)< 0</math>을 예로 들면, 위 그래프에서 <math>x</math>축 아래에 해당하는 부분, 즉 <math>x< -6, 1< x< 4</math>가 답이 된다. | ||
사실 이 그래프를 이용하는 방법은 거의 모든 부등식에 사용이 가능하다. | 사실 이 그래프를 이용하는 방법은 거의 모든 부등식에 사용이 가능하다. | ||