로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요![[파일:Incircle and Excircles.svg]] Excenter == 정의 == [[삼각형]]의 오심 중 하나로, 한 내각의 이등분선과 다른 두 외각의 이등분선의 교점을 부르는 말이다. 다만, 삼각형의 다른 중심과는 달리 방심은 어떤 내각을 고르냐에 따라 서로 다른 3개의 방심이 존재한다. 방심은 기호로 <math>I_A</math> 혹은 <math>J_A</math>를 사용하며, [[수심]]과 마찬가지로 한국의 수학 교육과정에서는 어째서인지 다루지 않는다. 하지만 수학 경시대회를 준비한다면 반드시 알아야하는 개념 중 하나이며, 방접원의 여러 성질들을 공부하는 것도 중요하다. == 성질 == #삼각형의 한 내각과 다른 두 외각은 반드시 한 점에서 만난다. #방접원은 삼각형의 한 변과 다른 두 변의 연장선과 접한다. #방접원의 반지름을 각각 <math>r_a,r_b,r_c</math>라 하면, <math>S_{\triangle{ABC}}=\left(s-a\right)r_a=\left(s-b\right)r_b\left(s-c\right)r_c</math>이다. 단, <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math>이다. #내접원의 반지름을 <math>r</math>이라 하면 <math>S_{\triangle{ABC}}=\sqrt{rr_ar_br_c}</math>이다. #<math>\frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}</math>이다. #내접원의 중심을 <math>I</math>라 하면, <math>A,I,J_A</math>는 [[공선점]]이다. #<math>J_A,C,J_B</math>는 [[공선점]]이다. #<math>\triangle{J_AJ_BJ_C}</math>의 [[수심]]은 <math>I</math>이다. #세 방접원은 모두 [[구점원]]과 접한다. === 증명 === [[파일:방심 2.png]] 1. <math>\angle{A}</math>의 이등분선과 <math>B</math>의 외각의 이등분선이 만나는 점을 <math>J</math>라 하자. 그리고 <math>J</math>에서 각 변에 내린 수선의 발을 <math>D,E,F</math>라 하자. 그럼 <math>\angle{BEJ}=\angle{BDJ}=90^\circ,\,\angle{JBE}=\angle{JBD},\,\overline{BJ}</math> 공통이므로 <math>\triangle{BEJ}\cong\triangle{BDJ}</math>(RHA 합동)이다. 따라서 <math>\overline{JE}=\overline{JD}</math>. 같은 방법으로 <math>\triangle{AEJ}\cong\triangle{AFJ}</math>(RHA 합동)이고, 따라서 <math>\overline{JE}=\overline{JF}</math>이다. 따라서 <math>\overline{JD}=\overline{JF},\,\angle{JDC}=\angle{JFC}=90^\circ,\,\overline{JC}</math> 공통이므로, <math>\triangle{JDC}\cong\triangle{JFC}</math>이고, 곧 <math>\angle{JCD}=\angle{JCF}</math>이다. 이제 <math>\angle{B},\,\angle{C}</math>의 외각의 이등분선이 만나는 점을 <math>J</math>라 하자. 위와 비슷한 방법으로 <math>\angle{JAB}=\angle{JAC}</math>를 증명할 수 있다. 2. (생략) 3. <math>S_{\triangle{ABC}}=S_{\triangle{ABJ}}+S_{\triangle{ACJ}}-S_{\triangle{BCJ}}=\frac{1}{2}cr_a+\frac{1}{2}br_a-\frac{1}{2}ar_a=\frac{1}{2}\left(b+c-a\right)r_a=\left(s-a\right)r_a</math>이다. 나머지 방심에 대해서도 같은 방법으로 증명이 가능하다. 4. 내접원의 성질에서, <math>S=rs</math>이다 (<math>S=S_{\triangle{ABC}}</math>). 따라서 <math>r^2=\frac{S^2}{s^2}=\frac{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s}</math>이다 ([[헤론의 공식]]). 한편, 3번 성질에서 같은 방법으로 <math>{r_a}^2=\frac{s\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s-a}</math>이다. 나머지 방접원에 대해서도 같은 방법으로 해준 뒤, 식을 변끼리 곱하면, <math>\left(rr_ar_br_c\right)^2=\left(s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\right)^2=S^2</math>이다 (헤론의 공식). 따라서 <math>S=\sqrt{rr_ar_br_c}</math>. 5. <math>S=\left(s-a\right)r_a=\left(s-b\right)r_b\left(s-c\right)r_c=rs</math>에서, <math>\frac{r}{r_a}=\frac{s-a}{s},\,\frac{r}{r_b}=\frac{s-b}{s},\,\frac{r}{r_c}=\frac{s-c}{s}</math>이다. 이 세 식을 변끼리 더하면, <math>\frac{r}{r_a}+\frac{r}{r_b}+\frac{r}{r_c}=\frac{3s-a-b-c}{s}=\frac{3s-2s}{s}=1</math>. 양변을 <math>r</math>로 나눠주면 <math>\frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}</math>이다. 6. 각 각도를 <math>a,b,c</math>라 하자. 그럼 <math>a+b+c=180^\circ</math>이다. <math>I</math>는 세 내각의 이등분선의 교점이므로, <math>\angle{IAB}=a/2,\,\angle{IBA}=b/2</math>이고, 따라서 <math>\angle{AIB}=180^\circ-\left(a+b\right)/2</math>이다. 한편, <math>\angle{J_ABC}</math>는 <math>B</math>의 외각의 절반이므로, <math>\angle{J_ABC}=\left(a+c\right)/2</math>이다. 따라서 <math>\angle{IBJ_A}=b/2+\left(a+c\right)/2=\left(a+b+c\right)/2=90^\circ</math>. 같은 방법으로 <math>\angle{ICJ_A}=90^\circ</math>이다. 따라서 점 <math>B,I,C,J_A</math>는 ([[공원점]])이고, <math>\angle{BIJ_A}=\angle{BCJ_A}</math>이다 ([[원주각]]). 한편, <math>\angle{BCJ_A}</math>는 각 <math>C</math>의 외각의 절반이므로, <math>\angle{BCJ_A}=\left(a+b\right)/2</math>. 따라서 <math>\angle{AIB}+\angle{BIJ_A}=180^\circ-\left(a+b\right)/2+\left(a+b\right)/2=180^\circ</math>. 이는 곧 <math>A,I,J_A</math>가 [[공선점]]임을 의미한다. 7. 6번 성질의 증명 과정 중, <math>\angle{ICJ_A}=90^\circ</math>임을 보였다. 같은 방법으로 <math>\angle{ICJ_B}=90^\circ</math>이고, 따라서 <math>\angle{ICJ_B}+\angle{ICJ_A}=180^\circ</math>이다. 이는 곧 <math>J_B,C,J_A</math>가 공선점임을 의미한다. 8. 6번과 7번 성질의 따름정리. 증명은 생략한다. 9. [[포이어바흐 정리]] 참조. == 기타 == 위에 나열된 성질 외에도, 중학교에선 가르치기에 곤란한 정신나간 성질들이 많다. 그런데 그 많은 성질들이 순수한 수학적 흥미 외에는 영 쓸모가 없다. 학교에서 가르치지 않는 대표적인 이유. {{ㅊ|입시위주교육의 폐해}} == 관련 항목 == *[[삼각형]] *[[외심]] *[[내심]] *[[무게중심]] *[[수심]] [[분류:기하학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ㅊ (원본 보기) (준보호됨)틀:취소선 (원본 보기) (준보호됨)