방데르몽드 행렬 편집하기


== 정의 ==
[[체]] ''F''와 <math>\alpha_1,\alpha_2, \cdots, \alpha_m \in F</math>에 대해, <math>m \times n</math> '''방데르몽드 행렬(Vandermonde matrix)''' ''V''는 다음 꼴로 나타나는 행렬이다.
: <math>V=\begin{bmatrix}
1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\
1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \cdots & \alpha_m^{n-1}
\end{bmatrix}=\left( \alpha_i^{j-1} \right)_{m \times n}</math>
위 행렬의 [[전치행렬]]을 방데르몽드 행렬로 정의하는 책도 있다.

알렉상드르 테오필 방데르몽드(Alexandre‐Théophile Vandermonde)를 따라 이름이 붙었다.

== 성질 ==
방데르몽드 행렬 ''V''가 ''n''차 정사각행렬인 경우 아래의 성질을 갖는다.

* ''V''의 행렬식을 [[방데르몽드 행렬식]]이라 하며, 이는
*: <math>\det V=\prod_{1\le i < j \le n} (\alpha_j - \alpha_i)</math>
: 의 값을 가진다(''i''와 ''j''의 첨자 순서에 유의할 것). 따라서 ''V''가 가역일 필요충분조건은 임의의 서로 다른 <math>i,j\in \{1,2,\cdots,n\}</math>에 대해 <math>\alpha_i \ne \alpha_j</math>인 것이다.

* ''V''가 가역일 때, ''V''의 [[역행렬]]을 <math>V^{-1}=[\beta_{ij}]</math>라 하면, 다음 식이 성립한다.
*: <math>\beta_{ij}=(-1)^{i-1}\frac {S_{n-i}(\alpha_1, \cdots,\alpha_{j-1},\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_n)}{\prod_{k\ne j}(\alpha_k-\alpha_j)}</math>
:이때, <math>S_{n-i}</math>는 [[기본대칭함수]]이다.
: '''증명.''' ''V''와 그 역행렬의 곱이 [[항등행렬]]이므로, 다음 식이 성립한다.
:: <math>\sum_{k=1}^n \alpha_i^{k-1} \beta_{kj}=\delta_{ij}</math>
: 이때, <math>\delta_{ij}</math>는 [[크로네커 델타]]이다. 다항식 <math>P_j(x)</math>를
:: <math>P_j(x)=\sum_{k=1}^n \beta_{kj}x^{k-1}</math>
: 로 정의하면 <math>\displaystyle P_j(\alpha_i)=\sum_{k=1}\beta_{kj}\alpha_i^{k-1}=\delta_{ij}</math>이다. [[라그랑주 보간법]]에 의해,
:: <math>\begin{align}P_j(x)&=\sum_{i=1}^n \delta_{ij}L_i(x)\\&=L_j(x)\\&=\prod_{1\le k \le n\atop k\ne j}\frac{x-\alpha_k}{\alpha_j-\alpha_k}\end{align}</math>
: 이다. 이때 <math>L_j(x)</math>는 [[라그랑주 다항식|라그랑주 기저 다항식]]이다. 계수비교를 통해
:: <math>\begin{align}\beta_{kj}&=\frac{\displaystyle\sum_{1\le i_1 < \cdots < i_{n-k} \le n}\prod_{j=1}^{n-k}(-\alpha_{i_j})}{\displaystyle\prod_{1\le m \le n \atop k\ne j}(\alpha_j-\alpha_m)}\\ &=\frac{\displaystyle (-1)^{n-k}\sum_{1\le i_1 < \cdots < i_{n-k} \le n}\prod_{j=1}^{n-k}\alpha_{i_j}}{\displaystyle (-1)^{n-1}\prod_{1\le m \le n \atop m\ne j}(\alpha_m-\alpha_j)} \\&= \frac{\displaystyle (-1)^{k-1}S_{n-k}(\alpha_1,\cdots,\alpha_{j-1},\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_n)}{\displaystyle \prod_{1\le m \le n\atop k\ne j}(\alpha_m-\alpha_j)} \end{align}</math>
: 임을 안다. ''k''를 ''i''로 바꾸면 원하는 결과를 얻는다.

== 외부 링크 ==
* [https://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Vandermonde%27s_Matrix Vandermonde's Matrix (Proofwiki)]

== 참고문헌 ==
* Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, {{ISBN|978-0-521-54823-6}}

[[분류:행렬]]