미분방정식 편집하기

'''미분방정식'''(微分方程式, Differential Equation)은 [[변수]], [[함수]], [[도함수]]가 포함된 [[방정식]]을 말한다. '''미방'''으로 많이 줄여 부르며 영어로는 Diff Eq라고 한다.

== 용어와 개념 ==
*상미분방정식 (Ordinary Differential Equation): 흔히 ODE라고 줄여 부른다. 독립변수가 한 개인 미분방정식을 말한다.
*편미분방정식 (Partial Differential Equation): 흔히 PDE라고 줄여 부른다. 두 개 이상의 독립변수와 이들의 편미분 도함수가 포함된 방정식을 말한다.
*계(order): 미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 많이 미분된 숫자를 미분방정식의 계라고 한다.
*차수(power): 미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 높은 계의 도함수의 차수(거듭제곱한 수)를 미분방정식의 차수라고 한다.
*선형(linear): 미지함수에 관해 선형인 미분방정식을 선형미분방정식이라고 한다. 보통 나타나는 편미분방정식은 선형인 경우가 많다. 미지함수와 그 도함수들이 모두 일차이면 선형이다.
**제차(homogeneous)와 비제차(non-homogeneous): 선형미분방정식 중, 미지함수를 포함하지 않은 항이 0일 경우 제차, 혹은 동차라고 한다. 그렇지 않은 경우 비제차, 혹은 비동차라고 한다.
*비선형(nonlinear): 선형이 아닌 미분방정식을 비선형미분방정식이라고 한다. 미지함수나 그 도함수가 비선형함수<ref>일차가 아닌 모든 함수, 즉 이차 이상의 다항함수, <math> \sin </math>와 같은 초월함수 등</ref> 안에 있을 경우, 혹은 계수가 미지함수를 포함할 경우 비선형이다.

=== 예시 ===
* <math> y'' +3xy +72 = 0 </math> 는 이계 일차미분방정식이다.
* <math> \left({\mathrm{d^2}y \over \mathrm{d}x^2}\right)^3 - \left({\mathrm{d}y \over \mathrm{d}x}\right)^{72} = \sin^{14} x </math> 은 이계 삼차미분방정식이다.
*<math> \sin x {\mathrm{d^2}y \over \mathrm{d}x^2} + 2xy = 0 </math> 은 선형 제차 미분방정식이다.
*<math>{ {\mathrm{d}y} \over {\mathrm{d}x} }+ y = 72 </math> 는 선형 비제차 미분방정식이다.
*<math> \sin \left({{\mathrm{d}y} \over {\mathrm{d}x}} \right) + y  = x </math> 는 비선형 미분방정식이다.
*<math> xyy' + y = x </math> 는 비선형 미분방정식이다.

== 미분방정식의 형태와 해 ==
=== 미분방정식의 형태 ===
General Form과 Normal Form, Standard Form이 있다.
* General Form: <math>F(x,y,y',y'',...y^{(n)})=0</math> 의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다.
* Normal Form: <math>{d^{n}y \over dx^{n}}=f(x,y,y',...,y^{(n-1)})</math> 의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다.
* Standard Form: <math>y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+...+a_{n-1}y'+a_n=0</math> 의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다.

=== 특수해, 일반해, 특이해 ===
미분방정식의 해는 함수인데, 보통 하나만 있지 않다. 그래서 어떤 임의의 매개변수를 이용해 그 해들을 나타낸다.
*특수해(particular solution) : 미분방정식을 만족하고, 임의의 매개변수를 포함하고 있지 않는 함수.
*일반해(general solution) : 매개변수를 통해 여러 개의 특수해를 나타낸 것.
*특이해(singular solution) : 어떤 특수해가 일반해로 표현되지 않는 것. 일반해를 어떻게 잡느냐에 따라 상대적인 개념이다.
이 셋과 별개의 개념으로 사소한 해(trivial solution)이 있는데, 이것은 주어진 미분방정식만으로도 자명하게 도출되는 해를 말한다.

==== 예 ====
<math> y' + 2y^{3 \over 2} = 0 </math> 라는 미분방정식에 대해,<br />
<math> y = {1 \over (x+c)^2} </math> 은 일반해이다. 그런데, <math> y = 0 </math>의 경우 이 일반해로는 표현되지 않지만 주어진 미분방정식을 만족한다.<br />
즉, <math> y = 0 </math> 은 이 일반해에 대한 특이해이다.

=== 초깃값 문제와 경곗값 문제 ===
{{ㅊ|[[사이시옷|깃과 곗]]이 어색해보일 수 있지만 보다보면 정이 든다.}}

<math>n</math>계 상미분방정식의 일반해는 <math>n</math>개의 임의의 매개변수를 포함하고 있다. 특수해를 얻기 위해서는 추가적인 조건이 필요하다. 이러한 조건으로 초기 조건과 경계 조건이 있다.

==== 초깃값 문제 ====
미분방정식에 독립변수의 한 값에 대한 조건만 부여된 경우에 이 조건을 초기 조건(initial condition)이라 한다. 초기 조건을 가진 미분방정식을 초깃값 문제(initial value problem)라고 한다.

===== 해의 존재성과 유일성 =====
다음 초깃값 문제<br />
<math> a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y=g(x), y(x_0)=y_0, y'(x_0)=y_1, \cdots , y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1} </math>에 대해,<br />
<math> a_0(x), a_1(x), \cdots , a_n(x), g(x) </math>가 <math> x_0 </math>를 포함하는 구간에서 연속이고 이 구간 내의 모든 <math> x </math>에 대해 <math> a_n(x) \ne 0 </math>이라 하면, 이 초깃값 문제는 유일한 해를 가진다.

==== 경곗값 문제 ====
미분방정식에 독립변수의 두 개 이상의 값에 대한 조건이 부여된 경우에 이 조건을 경계 조건(boundary condition)이라 한다. 경계 조건을 가진 미분방정식을 경곗값 문제(boundary value problem)라고 한다.

2계 미분방정식의 경계조건은 일반적으로

<math> \alpha_1 y(a) + \beta_1 y'(a) = \gamma_1 </math><br />
<math> \alpha_2 y(b) + \beta_2 y'(b) = \gamma_2</math>

와 같이 주어진다.

==== 예 ====
*<math> y' -2xy = 3, y(0) = 1 </math> 은 초깃값 문제이다. <math> y(0) = 1</math>을 초기 조건이라고 부른다.
*<math> y'' -3y' - y = 0, y(1) = 1, y'(1) = -1 </math> 은 초깃값 문제이다.
*<math> y'' -34y' - 2xy = x^2, y(0) = 1, y(2) =4 </math> 는 경곗값 문제이다. <math> y(0) = 1, y(2) =4 </math>를 경계 조건이라고 부른다.

== 유명한 미분방정식 ==
=== 맬서스 인구 성장 모형 ===
[[1798년]] 영국의 경제학자 [[맬서스]]에 의해 제시된 인구 성장 모형. 특정 시점의 한 나라 인구 성장률이 그 시점의 그 나라 총 인구수에 비례한다는 가정에 따라 구성되었다. 시간 <math> t </math>에서의 총 인구수를 <math> P(t) </math>라고 하면 다음과 같이 나타난다.<br />
<math> {\mathrm{d}P(t) \over \mathrm{dt}} = rP(t) </math><br />
여기서 r은 내적 증가율이라고 부르는 비례 상수이다. 이 미분방정식은 후술할 변수분리법으로 풀 수 있고, 일반해는<br />
<math> P(t) = e^{rt+c} </math> 이다.

=== 스프링에 의한 단순 조화 운동 ===
스프링에 물체를 매달아 당긴 후 놓으면, 물체는 계속해서 왕복운동을 하게 된다. 공기저항이나 마찰력과 같은 힘이 작용하지 않으면 일정한 진폭으로 무한히 왕복하게 되는데, 이를 단순 조화 운동이라고 한다.<br />
스프링이 평형점에서부터 <math> x </math>만큼 늘어나거나 압축되었을 때 작용하는 복원력은 훅의 법칙에 따라<br />
<math> F = -kx </math>이다. <math> F = ma = m{\mathrm{d^2x} \over \mathrm{dt}^2} </math> 이므로,<br />
<math> -kx = m{\mathrm{d^2x} \over \mathrm{dt}^2} </math>  이고, 이를 다시 쓰면<br />
<math> m{\mathrm{d^2x} \over \mathrm{dt}^2} + kx = 0 </math> 이다. 이 이계미분방정식을 풀어주면<br />
<math> x(t)=c_1 \cos \omega t + c_2 \sin \omega t, \omega = \sqrt{k \over m} </math> 이 된다.<br />
삼각함수의 합성공식을 이용해서 한번 더 정리해주면<br />
<math> x(t) =  A \cos(\omega t - \phi), A=\sqrt{c_1^2+c_2^2}, \phi = \tan^{-1} \left({c_2 \over c_1} \right) </math>이고, <math> A </math>는 최대 진폭, <math> \psi </math>는 위상각이라 한다.

== 미분방정식의 해법 ==
=== 1계 상미분 방정식 ===
==== 변수분리형 미분방정식 ====
1계 미분방정식의 형태가 <math> {\mathrm{dy} \over \mathrm{dx}} = {g(x) \over h(y)} </math> 와 같이 주어졌을 때, 그 미분방정식을 변수분리형 미분방정식(separable differential equation)이라고 한다. 이러한 미분방정식은 다음과 같이 정리할 수 있다.<br />
<math> h(y)dy = g(x)dx </math><br />
양변을 적분해주면<br />
<math> \int h(y)\, \mathrm{dy} = \int g(x)\, \mathrm{dx} + c </math> 가 된다.

===== 예 =====
앞서 소개한 인구 모형 <math> {\mathrm{d}P(t) \over \mathrm{dt}} = rP(t) </math> 를 풀어보자. 이 식을 [[적절]]히 정리해 주면,<br />
<math> {1 \over P(t)} \mathrm{d}P(t) = r\mathrm{dt} </math> 가 된다. 적분해주면,<br />
<math> \ln|P(t)| = rt + c </math> 이고, 다시 정리해<br />
<math> P(t) = e^{rt + c} </math> 를 얻을 수 있다. (인구는 항상 양수)<br />
여기서 처음의 인구를 나타내는 초기조건 <math> P(0) = P_0 </math>를 적용해 보자.<br />
<math> P(0) = e^c = P_0 </math> 이므로,<br />
<math> P(t) = P_0e^{rt} </math> 라는 특수해를 얻는다.

==== 완전 미분방정식 ====
이변수함수 <math> f(x, y) </math>의 전미분은<br />
<math> \mathrm{d}f = {\partial f \over \partial x}dx + {\partial f \over \partial y}dy </math> 이다. <math> \partial </math>는 [[편미분]] 기호로, 항목을 참조하라.

1계 미분방정식 <math> M(x, y) + N(x, y){\mathrm{dy} \over \mathrm{dx}} = 0 </math> 의 양변에 dx를 곱하면<br />
<math> M(x, y)\mathrm{dx} + N(x, y)\mathrm{dy} = 0 </math> 이고,<br />
이 미분방정식의 좌변이 위의 <math> \mathrm{d}f </math>, 즉 어떤 함수의 전미분이 될 때, 미분 형태가 완전하다(exact)고 하고, 이 미분방정식을 완전 미분방정식(exact differential equation)이라고 한다.

이 미분방정식을 풀어보자.<br />
<math> M(x, y) = {\partial f \over \partial x} </math> 이므로 양변을 적분해주면,<br />
<math> \int M(x, y) \, \mathrm{dx} + h(y) = f </math> 이다. 여기서는 {{ㅊ|편미분에 무참히 갈려나갔던}} <math> y </math>의 함수가 적분상수가 된다.<br />
이 함수 <math> f </math>는 <math> {\partial f \over \partial y} = N(x, y)</math>도 만족하므로, <math> y </math>에 대해 편미분해주면,<br />
<math> N(x , y) = {\partial f \over \partial y} = {\partial \over \partial y} \int M(x, y) \, \mathrm{dx} + h'(y) </math> 이 성립할 것이다. 즉 <math> h(y) </math>는 다음 조건을 만족하는 함수이다.<br />
<math> h'(y) = N(x, y) - {\partial \over \partial y} \int \, M(x,y) dx </math><br />
이를 <math> y </math>에 대해 잘 적분해 <math> h(y) </math>를 구하고,<br />
<math> \int M(x, y) \, \mathrm{dx} + h(y) = f </math>에 다시 대입해 주면 <math> f(x, y) </math>를 구할 수 있다.

===== 완전미분 여부 확인 =====
이쯤 되면 한 가지 의문이 떠오를 텐데, {{ㅊ|아니면 말고}} 도대체 저게 완전 미분방정식인지 어떻게 안단 말인가? 그 답으로, 다음과 같은 정리가 있다.

<math> M(x, y) </math> 와 <math> N(x, y) </math>가 연속이고 일계 편도함수를 가질 때,<br />
<math> M(x, y) \mathrm{dx} + N(x, y) \mathrm{dy} = 0 </math> 이 완전미분방정식이기 위한 필요충분조건은 <math> {\partial M \over \partial y} = {\partial N \over \partial x} </math> 이다.
*필요조건 증명
<math> M(x, y) \mathrm{dx} + N(x, y) \mathrm{dy} </math> 가 어떤 함수<math> f </math>의 전미분이라고 가정하면,<br />
<math> M(x, y) = {\partial f \over \partial x}, N(x, y) = {\partial f \over \partial y} </math>를 만족한다.<br />
<math> f(x, y) </math>의 이계 편도함수가 존재하고 연속이면 <math> {\partial \over \partial y} \left( {\partial f \over \partial x} \right) = {\partial \over \partial x} \left( {\partial f \over \partial y} \right) </math>를 만족(편미분하는 순서를 바꾸어도 결과가 같다)하므로,<br />
<math> {\partial M \over \partial y} = {\partial \over \partial y} \left( {\partial f \over \partial x} \right) = {\partial \over \partial x} \left( {\partial f \over \partial y} \right) = {\partial N \over \partial x} </math> 임을 알 수 있다.
*충분조건 증명
[[추가바람]]

===== 적분인자 =====
<math> M(x, y)\mathrm{dx} + N(x, y)\mathrm{dy} = 0 </math> 형태의 미분방정식이 완전미분방정식이 아닐 때, 적절한 함수 <math> \mu (x, y) </math>를 양변해 곱해주면 완전 미분방정식으로 만들 수가 있다. 이때의 <math> \mu (x, y) </math>를 적분인수 혹은 적분인자(integrating factor)라고 한다.<br />
즉, 함수 <math> \mu(x, y) </math>가 적분인자일 필요충분조건은 <math> {\partial \mu M \over \partial y} = {\partial \mu N \over \partial x} </math>이다. 곱의 미분법을 이용해 한번 더 정리하면, <br /> 
: <math> N {\partial \mu \over \partial x} - M {\partial \mu \over \partial y} = \mu({\partial M \over \partial y} - {\partial N \over \partial x}) </math>
이다.<br />
이를 만족하는 <math> \mu </math>를 찾으면 되는데, 저게 편미분방정식(...)인게 문제다. 원래 미분방정식보다 풀기 어렵다는 뜻이다. 하지만 다행히도, 특수한 경우에는 <math> \mu </math>를 구할 수가 있다. 이하, <math> f_x = {\partial f \over \partial x} </math> 이다.
* <math> {M_y - N_x \over N} </math> 이 <math> x </math>만의 함수일 때. 적분인수는 <math> e^{\int{M_y-N_x \over N} \, \mathrm{dx}} </math> 이다.
* <math> {M_y - N_x \over M} </math> 이 <math> y </math>만의 함수일 때. 적분인수는 <math> e^{\int{M_y-N_x \over M} \, \mathrm{dy}} </math> 이다.

==== 1계 선형 상미분방정식 ====
1계 선형 상미분방정식은 일반적으로 다음과 같이 나타난다.<br />
<math> a_1(x){\mathrm{dy} \over \mathrm{dx}} + a_0(x) y = f(x) </math><br />
양변을 <math> a_1(x) </math> 로 나누면<br />
<math> {\mathrm{dy} \over \mathrm{dx}} + P(x)y = Q(x) </math>와 같이 쓸 수 있다. 이를 표준형이라고 한다.<br />
제차일 경우, 즉 <math> Q(x) = 0 </math>일 때는 <math> {\mathrm{dy} \over y} = -P(x)\mathrm{dx} </math>이므로 변수분리형이고, 적분하면 풀 수 있다.<br />
비제차일 경우, 그 적분인수는 <math> \mu (x) = e^{\int P(x)\, \mathrm{dx}} </math> 이고, 해는<br />
<math> y = {1 \over \mu (x)} \left( \int \mu (x) Q(x)\, \mathrm{dx} + C \right) </math> 이다.<br />
증명은 간단하다.
양변에 적분인수를 곱하면, <br />
<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{dx}}\mu\left(x\right)+\mu\left(x\right)P\left(x\right)y=\mu\left(x\right)Q\left(x\right)</math>이고, 이것은 곧 <math>\left(y\mu\left(x\right)\right)'=\mu\left(x\right)Q\left(x\right)</math>이다. 양변을 적분해준 뒤 적분인수를 나눠주면 <math> y = {1 \over \mu (x)} \left( \int \mu (x) Q(x)\, dx + C \right) </math> 이다.
==== 치환 ====
변수를 다른 변수로 치환하여 푸는 방법이다. 세 가지 경우에 적용할 수 있는 각각의 풀이법이 있다.
===== 첫번째 경우 =====
방정식 <math>M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 </math>가 <math>M(tx,ty)=t^\alpha M(x,y), N(tx,ty)=t^\alpha N(x,y)</math>를 만족하는 경우에 쓸 수 있는 풀이방법이 있다. 이 경우 각각의 계수를 

<math>M(x,y)=x^\alpha M(1,u), N(x,y)=x^\alpha N(1,u)(u=y/x)</math> 또는 <math>M(x,y)=y^\alpha M(v,1), N(x,y)=y^\alpha N(v,1)(v=x/y)</math> 형태로 변환할 수 있다. 이 중 첫번째 경우로 방정식에 대입하여 식을 전개해 보자.
<math>y=ux</math> 이므로 <math>dy=udx+xdu</math> 꼴이 나올 것이다. 이를 방정식에 대입하면

<math>x^\alpha M(1,u)dx+x^\alpha N(1,u)(udx+xdy)=0</math> 이 된다. <math>x^\alpha</math>로 나누면

<math>M(1,u)dx+N(1,u)(udx+xdu)=0</math> 꼴이 되고, <math>(M(1,u)+uN(1,u))dx+xN(1,u)du=0</math> 로 정리된다. 이것을 변수 분리 형태로 정리하면

<math>{dx \over x}+{N(1,u)du \over M(1,u)+uN(1,u)}=0</math> 이 된다. 이 풀이법은 매우 복잡해 보이지만 중간 과정에서 <math>y=ux</math> 임을 활용해 방정식을 전개한 것을 생각하면 사실 위의 조건만 만족하는지를 따져본 이후 바로 <math>y=ux</math>  또는 <math>x=vy</math> 를 대입하여 풀면 된다.

===== 두번째 경우 =====
<math>{dy \over dx}=f(Ax+By+C), B\neq(0)</math>를 만족하는 경우에 적용할 수 있는 풀이법이다. 간단하게 <math>u=Ax+By+C</math> 로 치환하여 풀 수 있다.

===== 베르누이 방정식 =====
<math>{dy \over dx}+P(x)y=Q(x)y^n</math> 꼴의 미분방정식을 베르누이 방정식(Bernoulli's Equation)이라고 한다. <math>n=0</math> 또는 <math>n=1</math> 의 경우에는 선형 1계 미분방정식이고 특히 <math>n=1</math> 또는 <math>Q (x)=0</math>인 경우 선형 제차 1계 미분방정식이므로, 상술되어 있는 풀이 방법을 통해 풀면 된다. 그 외의 경우 <math>u=y^{1-n}</math> 로 치환하여 선형 미분방정식 꼴로 변환하여 풀 수 있다.

=== 2계 이상의 상미분 방정식 ===
여기서 부터는 약간 찍어 맞추는 듯한 풀이를 쓰게 된다.

==== 제차 ====
적당한 실수 <math>r</math>에 대해 <math>y=e^{rt}</math>라 가정한다. 이를 <math>ay''+by'+cy=0</math>에 넣고 간단히 정리하면 <math>ar^2+br+c=0</math>이다. 이 방정식의 근을 <math>r_1,\,r_2</math>라 했을 때, 총 세 가지의 경우가 존재한다.

1. <math>r_1\neq r_2,\quad r_1,r_2\in\mathbb{R}</math>:

<math>y=e^{r_1t},\,y=e^{r_2t}</math>가 두 특수해가 된다. 일반해는 특수해의 선형결합이므로, 적당한 실수 <math>c_1,c_2</math>에 대해 <math>y=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}</math>가 해.

2. <math> r_1\neq r_2,\quad r_1,r_2\in\mathbb{C}</math>:

두 근이 복소수인 경우. <math>r_1=\alpha+i\beta</math>라 가정하자. 그럼 <math>e^{r_1t}=e^{\alpha t}\left(\cos\beta t+i\sin\beta t\right)</math>이다 ([[오일러의 공식]]). 적당한 연산을 통해 실수부와 허수부가 각각 원 방정식의 특수해가 됨을 알 수 있다. 더욱이 이 두 특수해는 선형 독립이므로, <math>e^{\alpha t}\left(c_1\cos\beta t+c_2\sin\beta t\right)</math>가 일반해이다.

3. <math>r_1=r_2</math>:

먼저 <math>e^{r_1t}</math>가 한 해임을 알 수 있다. 이를 <math>y_1</math>이라 하자. 나머지 한 특이해를 찾기 위해 Variation of Parameter 방법을 사용한다.

적당한 <math>v\left(t\right)</math>에 대해 <math>y_2=y_1v</math>가 방정식 <math>y''+Py'+Q=0</math>의 해라고 가정하자. 여기에 <math>y_2</math>를 대입하고 정리하면 <math>y_1v''+\left(2y_1'+Py_1\right)v'=0</math>이다. 이제 <math>y_1\neq0</math>이라고 가정하면, <math>v''+\left(\frac{2y_1'}{y_1}+P\right)v'=0</math>이고, 이는 <math>v'</math>에 관한 일차 선형 상미분 방정식이다. 이를 풀어주면 <math>v\left(t\right)=\int{\frac{\exp\left(-\int P\left(t\right)\mathrm{dt}\right)}{{y_1}^2}}\mathrm{dt}</math>이다. 특이할 점은, <math>y''+\frac{b}{a}y'+\frac{c}{a}y=0</math>일 때 <math>v\left(t\right)=t</math>라는 것이다. 따라서 두번째 특수해는 <math>y_2=te^{r_1t}</math>임을 알 수 있고, 따라서 일반해는 <math>c_1e^{r_1t}+c_2te^{r_1t}</math>이다.

==== 비제차 ====
제차의 일반해를 <math>y_h</math>, 비제차의 한 특수해를 <math>\psi</math>라 하면, <math>y=y_h+\psi</math>는 비제차 선형 미분방정식의 일반해가 된다. 증명은 다음과 같다.
{{인용문2|<math>\phi</math>가 비제차 선형 미분방정식의 한 해라고 하자. 그럼 <math>\phi-\psi</math>는 제차 선형 미분방정식의 해이다. 따라서 <math>\phi-\psi=y_h</math>이고, 따라서 <math>\phi=y_h+\psi</math>이다. 이는 곧 비제차 선형 미분방정식의 일반해가 <math>y_h+\psi</math>임을 나타낸다.}}
문제는 여기서 어떻게 <math>\psi</math>를 찾느냐 이다. 아래는 그 방법들.
# Variaion of Parameters: 적당한 <math>u_1\left(t\right),\,u_2\left(t\right)</math>에 대해 <math>\psi=u_1y_1+u_2y_2</math>라 가정하자 (<math>y_1,y_2</math>는 제차 선형 미분방정식의 두 해). 이를 원 방정식에 넣은 뒤 계산을 해주면 <math>{u_1}'=-\frac{y_2g}{W\left[y_1,y_2\right]},\,{u_2}'=\frac{y_1g}{W\left[y_1,y_2\right]}</math>이다 (<math>g</math>는 비제차 항, <math>W</math>는 Wronskian).
# Judicious Guessing: 이름에서 알 수 있듯이, 찍어 맞추는 것이다. 만약 비제차 항이 다항식이라면, 특수해도 다항식의 형태. 지수함수가 곱해져 있다면 특수해에도 지수함수가 곱해져 있을 것이다. 만약 사인이나 코사인이 있다면 [[복소수]]를 사용한 다항식의 형태가 특수해. 특수해의 각 계수는 미정계수법을 사용해 찾는다.
# [[라플라스 변환]]

일반적으로는 두 번째 방법이 제일 빠르다. 만약 계산이 복잡해 진다면 라플라스 변환을 시도하자.

==== 상수계수 상미분 방정식 ====
차수가 3 이상일 경우에는 기본적으로 2계 상미분 방정식과 동일한 방법을 사용한다. 비제차의 경우에는 Judicious Guessing이나 라플라스 변환을 사용해 특수해를 찾는 것도 동일.

=== 비선형 상미분방정식 ===
{{빈 문단}}

=== 연립 미분방정식 ===
미분방정식 여러 개가 연립되어 있는 형태. 여기서 부터는 [[행렬]]이 필수이며, 고유값과 같은 [[선형대수학]]적 지식도 필요하다.

=== 편미분방정식(PDE) ===
{{본문|편미분방정식}}
편미분방정식(Partial Differential Equation)은 독립변수가 여러 개인 미분방정식이다.

=== [[수치해석]]적 방법 ===
정확한 해를 구하기 힘든 미분방정식이 많기 때문에 컴퓨터 등을 이용해 근사적인 해를 구하기 위한 방법들이 많이 존재한다.
* [[룽게-쿠타 방법]]

{{각주}}
[[분류:미분방정식| ]]