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*상미분방정식 (Ordinary Differential Equation): 흔히 ODE라고 줄여 부른다. 독립변수가 한 개인 미분방정식을 말한다. | *상미분방정식 (Ordinary Differential Equation): 흔히 ODE라고 줄여 부른다. 독립변수가 한 개인 미분방정식을 말한다. | ||
*편미분방정식 (Partial Differential Equation): 흔히 PDE라고 줄여 부른다. 두 개 이상의 독립변수와 이들의 편미분 도함수가 포함된 방정식을 말한다. | *편미분방정식 (Partial Differential Equation): 흔히 PDE라고 줄여 부른다. 두 개 이상의 독립변수와 이들의 편미분 도함수가 포함된 방정식을 말한다. | ||
*계(order): 미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 많이 미분된 숫자를 미분방정식의 계라고 한다. | *계(order): 미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 많이 미분된 숫자를 미분방정식의 계라고 한다. | ||
*차수(power): 미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 높은 계의 도함수의 차수(거듭제곱한 수)를 미분방정식의 차수라고 한다. | *차수(power): 미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 높은 계의 도함수의 차수(거듭제곱한 수)를 미분방정식의 차수라고 한다. | ||
*선형(linear): 미지함수에 관해 선형인 미분방정식을 선형미분방정식이라고 한다. 보통 나타나는 편미분방정식은 선형인 경우가 많다. 미지함수와 그 도함수들이 모두 일차이면 선형이다. | *선형(linear): 미지함수에 관해 선형인 미분방정식을 선형미분방정식이라고 한다. 보통 나타나는 편미분방정식은 선형인 경우가 많다. 미지함수와 그 도함수들이 모두 일차이면 선형이다. | ||
**제차(homogeneous)와 비제차(non-homogeneous): 선형미분방정식 중, 미지함수를 포함하지 않은 항이 0일 경우 제차, 혹은 동차라고 한다. 그렇지 않은 경우 비제차, 혹은 비동차라고 한다. | **제차(homogeneous)와 비제차(non-homogeneous): 선형미분방정식 중, 미지함수를 포함하지 않은 항이 0일 경우 제차, 혹은 동차라고 한다. 그렇지 않은 경우 비제차, 혹은 비동차라고 한다. | ||
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* <math> y'' +3xy +72 = 0 </math> 는 이계 일차미분방정식이다. | * <math> y'' +3xy +72 = 0 </math> 는 이계 일차미분방정식이다. | ||
* <math> \left({\mathrm{d^2}y \over \mathrm{d}x^2}\right)^3 - \left({\mathrm{d}y \over \mathrm{d}x}\right)^{72} = \sin^{14} x </math> 은 이계 삼차미분방정식이다. | * <math> \left({\mathrm{d^2}y \over \mathrm{d}x^2}\right)^3 - \left({\mathrm{d}y \over \mathrm{d}x}\right)^{72} = \sin^{14} x </math> 은 이계 삼차미분방정식이다. | ||
*<math> \sin x {\mathrm{d^2}y \over \mathrm{d}x^2} + 2xy = 0 </math> 은 선형 제차 미분방정식이다. | *<math> \sin x {\mathrm{d^2}y \over \mathrm{d}x^2} + 2xy = 0 </math> 은 선형 제차 미분방정식이다. | ||
*<math>{ {\mathrm{d}y} \over {\mathrm{d}x} }+ y = 72 </math> 는 선형 비제차 미분방정식이다. | *<math>{ {\mathrm{d}y} \over {\mathrm{d}x} }+ y = 72 </math> 는 선형 비제차 미분방정식이다. | ||
*<math> \sin \left({{\mathrm{d}y} \over {\mathrm{d}x}} \right) + y = x </math> 는 비선형 미분방정식이다. | *<math> \sin \left({{\mathrm{d}y} \over {\mathrm{d}x}} \right) + y = x </math> 는 비선형 미분방정식이다. | ||
*<math> xyy' + y = x </math> 는 비선형 미분방정식이다. | *<math> xyy' + y = x </math> 는 비선형 미분방정식이다. | ||
121번째 줄: | 125번째 줄: | ||
<math> M(x, y) </math> 와 <math> N(x, y) </math>가 연속이고 일계 편도함수를 가질 때,<br /> | <math> M(x, y) </math> 와 <math> N(x, y) </math>가 연속이고 일계 편도함수를 가질 때,<br /> | ||
<math> M(x, y) \mathrm{dx} + N(x, y) \mathrm{dy} = 0 </math> 이 완전미분방정식이기 위한 필요충분조건은 <math> {\partial M \over \partial y} = {\partial N \over \partial x} </math> 이다. | <math> M(x, y) \mathrm{dx} + N(x, y) \mathrm{dy} = 0 </math> 이 완전미분방정식이기 위한 필요충분조건은 <math> {\partial M \over \partial y} = {\partial N \over \partial x} </math> 이다. | ||
*필요조건 증명 | *필요조건 증명 | ||
<math> M(x, y) \mathrm{dx} + N(x, y) \mathrm{dy} </math> 가 어떤 함수<math> f </math>의 전미분이라고 가정하면,<br /> | <math> M(x, y) \mathrm{dx} + N(x, y) \mathrm{dy} </math> 가 어떤 함수<math> f </math>의 전미분이라고 가정하면,<br /> | ||
126번째 줄: | 131번째 줄: | ||
<math> f(x, y) </math>의 이계 편도함수가 존재하고 연속이면 <math> {\partial \over \partial y} \left( {\partial f \over \partial x} \right) = {\partial \over \partial x} \left( {\partial f \over \partial y} \right) </math>를 만족(편미분하는 순서를 바꾸어도 결과가 같다)하므로,<br /> | <math> f(x, y) </math>의 이계 편도함수가 존재하고 연속이면 <math> {\partial \over \partial y} \left( {\partial f \over \partial x} \right) = {\partial \over \partial x} \left( {\partial f \over \partial y} \right) </math>를 만족(편미분하는 순서를 바꾸어도 결과가 같다)하므로,<br /> | ||
<math> {\partial M \over \partial y} = {\partial \over \partial y} \left( {\partial f \over \partial x} \right) = {\partial \over \partial x} \left( {\partial f \over \partial y} \right) = {\partial N \over \partial x} </math> 임을 알 수 있다. | <math> {\partial M \over \partial y} = {\partial \over \partial y} \left( {\partial f \over \partial x} \right) = {\partial \over \partial x} \left( {\partial f \over \partial y} \right) = {\partial N \over \partial x} </math> 임을 알 수 있다. | ||
*충분조건 증명 | *충분조건 증명 | ||
[[추가바람]] | [[추가바람]] |