로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! Centroid, Geometric Center == 정의 == 이름 그대로 물체의 무게의 중심점. 만약 중력가속도가 동일하다면 무게중심과 질량중심은 동일하며, 중력가속도가 균일하지 않다면 질량중심과 무게중심이 다를 수도 있다. 하지만 일상생활에서는 무게중심과 질량중심을 특별히 구분할 이유는 없다. 학교에서는 [[삼각형]]의 무게중심에 대해 배우며, 삼각형의 무게중심의 정의는 세 중선의 교점이다. 세 중선의 교점이 왜 삼각형의 무게중심이 되는지에 대해서는 무게중심의 성질을 참조. == 삼각형의 무게중심의 성질 == #[[삼각형]]의 세 중선은 반드시 한 점에서 만난다. #세 중선은 무게중심에 의해 2:1로 나눠진다. #세 중선에 의해 생기는 6개의 삼각형은 넓이가 같다. #무게중심의 벡터는 <math>\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}</math>이다. #무게중심을 <math>G</math>라 하면, <math>\overline{AB}^2+\overline{BC}^2+\overline{CA}^2=3\left(\overline{GA}^2+\overline{GB}^2+\overline{GC}^2\right)</math> #무게중심, [[수심]], [[외심]], 구점원의 중심은 [[공선점]]이다. === 증명 === [[파일:무게중심.png]] 1. <math>A</math>와 <math>B</math>에서 각 대변에 내린 중선의 발을 <math>D,\,E</math>라 하자. 또한, 그 두 중선의 교점을 <math>G</math>라 하자. 그리고 <math>\overline{GC}</math>의 연장선이 <math>\overline{AB}</math>와 만나는 점을 <math>F</math>라 하자. [[체바의 정리]]에 의해, <math>\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}\cdot\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\cdot\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}=1</math>. 한편, <math>\overline{BD}=\overline{DC},\,\overline{CE}=\overline{EA}</math>이므로, <math>\overline{AF}=\overline{FB}</math>. 2. <math>\triangle{ABD}</math>와 <math>\overline{CF}</math>에서 [[메넬라우스의 정리]]에 의해 <math>\frac{\overline{BF}}{\overline{FA}}\cdot\frac{\overline{AG}}{\overline{GD}}\cdot\frac{\overline{DC}}{\overline{CB}}=1</math>. 한편, <math>\frac{\overline{BF}}{\overline{FA}}=1,\,\frac{\overline{DC}}{\overline{CB}}=\frac{1}{2}</math>이므로 <math>\frac{\overline{AG}}{\overline{GD}}=2</math>. 나머지 두 중선에 대해서도 같은 방법으로 증명이 가능하다. 3. 먼저 <math>S_{\triangle{GBD}}=S_{\triangle{GCD}},\,S_{\triangle{GBF}}=S_{\triangle{GAF}},\,S_{\triangle{GAE}}=S_{\triangle{GCE}}</math>이다. 또한, <math>S_{\triangle{GAF}}:S_{\triangle{GAC}}=1:2</math>이므로, <math>S_{\triangle{GAF}}=S_{\triangle{GAE}}</math>. 같은 방법으로 <math>S_{\triangle{GBF}}=S_{\triangle{GBD}}</math>를 보일 수 있다. 따라서 6개의 삼각형의 넓이는 모두 같다 (<math>G</math>가 무게중심이라 불리는 이유). 4. <math>\vec{BG}</math>는 <math>\overline{AD}</math>의 2:1 내분점이므로, <math>\vec{BG}=\frac{2\vec{BD}+\vec{BA}}{3}=\frac{\vec{BC}+\vec{BA}}{3}</math>. 따라서 <math>\vec{OG}=\vec{OB}+\vec{BG}=\vec{b}+\frac{\vec{c}-\vec{b}+\vec{a}-\vec{b}}{3}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}</math>이다. 5. <math>\triangle{GAB}</math>에서 파푸스의 중선정리를 쓰면, <math>\overline{GA}^2+\overline{GB}^2=2\left(\overline{AF}^2+\overline{GF}^2\right)=2\left(\left(\frac{1}{2}\overline{AB}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\overline{GC}\right)^2\right)=\frac{1}{2}\left(\overline{AB}^2+\overline{GC}^2\right)</math>. <math>\triangle{GBC},\,\triangle{GCA}</math>에 대해서도 파푸스의 중선정리를 쓴 뒤 세 식을 더하면 원하는 식이 나온다. 6. [[오일러 직선]] 참조. == 무게중심을 찾는 방법 == *[[삼각형]]의 경우에는 두 중선의 교점을 찾으면 된다. *[[평행사변형]]의 경우에는 두 대각선의 교점이다. *임의의 볼록[[사각형]] 같은 경우는, 먼저 대각선을 그어 두 삼각형으로 나눈 뒤, 각 삼각형의 무게중심을 찾는다. 그럼 그 두 무게중심을 이은 선분을 두 삼각형의 넓이의 비로 내분한 점이 무게중심. *[[원 (도형)|원]]의 경우는 원의 중심이 무게중심. *임의의 도형의 무게중심을 찾고 싶다면, 먼저 둘레 위의 한 점을 찍은 뒤 지면에 수직하게 (= 중력가속도 방향으로) 놓는다. 그 뒤 그 점에서 수직 아래로 선을 긋는다. 둘레 위의 다른 점에서도 같은 과정을 반복한다. 이 때, 그어진 두 선의 교점이 무게중심이다. 참고로 무게중심이 도형 안에 있다는 보장은 없다. 간단하게 도넛 모양을 생각해 보면 이해가 될 듯. 볼록다각형은 무게중심이 도형 안에 있지만, 오목다각형의 경우에는 무게중심이 바깥에 있을 수도 있다. == 관련 항목 == *[[삼각형]] *[[외심]] *[[내심]] *[[수심]] *[[방심]] [[분류:기하학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț