모스 퍼텐셜 편집하기

'''모스 퍼텐셜'''(Morse potential)은 물리학자 [[필립 M. 모스]]의 이름을 딴 편리한 [[이원자 분자]]의 [[분자내 퍼텐셜]] 모형이다.  [[양자 조화 진동자]]와 달리 결합의 해리와 결합 에너지를 고려하기 때문에 더 정확한 모형이다. 실제 결합의 [[비조화성]], [[배진동]]띠(overtone) 및 [[조합띠]](combination band)가 나타날 확률이 0이 아닌 점을 설명할 수 있다. 원자와 표면간의 상호작용에도 적용될 수 있다. 너무 단순하기 때문에 실제 연구에서는 사용되지 않지만, 현대 분광학에서 가장 널리 쓰이는 Morse/Long-range 퍼텐셜에 영향을 미쳤다.

== 에너지 함수==
[[Image:Morse-potential.png|400px|thumb|'''모스 퍼텐셜''' (파랑)과 조화진동자 퍼텐셜 (초랑). 에너지 간격이 ħω인 조화진동자와 달리, 모스퍼텐셜의 에너지 간격은 에너지가 해리 에너지에 가까워질수록 감소한다. 해리 에너지 ''D''<sub>e</sub>는 실제 해리에 필요한  ''D''<sub>0</sub> 보다 작은데, 바닥상태 (''v'' = 0) 진동에너지 준위의 영점에너지 때문이다]]
The Morse potential energy function is of the form

:<math>V(r) = D_e ( 1-e^{-a(r-r_e)} )^2</math>

<math>r</math>은 원자 사이의 거리, <math>r_e</math>은 평형 결합 길이, <math>D_e</math> 는 해리된 원자에 대비된 우물의 깊이, <math>a</math> 는 우물의 너비를 조정하는 인자 (<math>a</math>가 작을수록 우물이 넓다.).[[결합 해리 에너지]]는 우물의 깊이에서 영점에너지<math>E(0)</math>를 배는 방법으로 구할 수 있다. 결합의 힘상수는 <math>V(r)</math>을 <math>r=r_e</math> 주변에서 테일러 전개한 뒤 이차 미분계수를 구해서 얻을 수 있다. 그러면 <math>a</math>는

:<math>a=\sqrt{k_e/2D_e},</math>

이고 <math>k_e</math>는 우물 바닥에서의 힘상수이다.

퍼텐셜 에너지의 0점은 임의로 정할 수 있다. 결합이 해리된 상태의 에너지를 0으로 쓰면

:<math>V(r) = D_e (( 1-e^{-a(r-r_e)} )^2 -1)</math>
흔히 쓰이는 형태로 다시쓰면

:<math>V(r) = D_e ( e^{-2a(r-r_e)}-2e^{-a(r-r_e)} )</math>

<math>r</math>은 표면에 수직거리를 말한다. <math>r</math>이 무한대일때 퍼텐셜이 0이고 에너지가 최소인  <math>r=r_e</math>에서 <math>-D_e</math>가 된다. 이것을 보면 모스 퍼텐셜은 반발항(앞)과 인력항(뒤)의 합이라는 사실을 알 수 있다.

== 진동 상태와 에너지==

[[양자 조화 진동자]]처럼 모스퍼텐셜의 에너지와 [[고유상태]]를 오퍼레이터법을 통해 구할 수 있다.<ref>F. Cooper, A. Khare, U. Sukhatme, ''Supersymmetry in Quantum Mechanics'', World Scientific, 2001, Table 4.1</ref>
One approach involves applying the [[factorization method]] to the Hamiltonian.

모스 퍼텐셜의 [[정상 상태]](Stationary state)를 써보자. 해 <math>\Psi(v)</math> 와 <math>E(v)</math>는 아래의 [[슈뢰딩거 방정식]]을 만족한다.

:<math>\left(-\frac{\hbar ^2 }{2 m }\frac{\partial ^2}{\partial r^2}+V(r)\right)\Psi(v)=E(v)\Psi(v),</math>

새 변수를 도입하면 더 쉽게 쓸 수 있다.

:<math>x=a r

\text{;  }

x_e=a  r_e

\text{;  }

\lambda =\frac{\sqrt{2 m  D_e}}{a \hbar }

\text{;  }

\varepsilon _v=\frac{2 m }{a^2\hbar ^2}E(v).
</math>

그러면 [[슈뢰딩거 방정식]]은 아래와 같이 바뀐다.

:<math>
\left(-\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+V(x)\right)\Psi _n(x)=\varepsilon _n\Psi _n(x),
</math>
:<math>
V(x)=\lambda ^2\left(e^{-2\left(x-x_e\right)}-2e^{-\left(x-x_e\right)}\right).
</math>
Its [[eigenvalue]]s and [[eigenstate]]s can be written as:
:<math>
\varepsilon _n=-\left(\lambda -n-\frac{1}{2}\right)^2
</math>
:<math>
\Psi _n(z)=N_nz^{\lambda -n-\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}z}L_n^{2\lambda -2n-1}(z),
</math>
where
<math>
z=2\lambda  e^{-\left(x-x_e\right)}
\text{;  }
N_n=n!\left[\frac{\left(2\lambda-2n-1\right)}{\Gamma (n+1)\Gamma (2\lambda -n)}\right]^{\frac{1}{2}}
</math> 와<math>L_n^{\alpha }(z)</math> 는 [[라게르 다항식]]이다.
:<math>L_n^{\alpha }(z) = \frac{z^{-\alpha  }e^z}{n!} \frac{d^n}{d z^n}\left(z^{n + \alpha } e^{-z}\right)=\frac{\Gamma (\alpha  + n + 1)/\Gamma (\alpha +1)}{\Gamma (n+1)} \, _1F_1(-n,\alpha +1,z),
</math>

위치 오퍼레이터에 행렬 요소의 해석적인 전개가 존재한다.(<math>m>n</math>과 <math>N=\lambda -\frac{1}{2}</math>을 가정함)
<ref name="Another">E. F. Lima and J. E. M. Hornos, "Matrix Elements for the Morse Potential Under an External Field", J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 38, pp. 815-825 (2005)</ref>
:<math>
\left\langle \Psi _m|x|\Psi _n\right\rangle =\frac{2(-1)^{m-n+1}}{(m-n)(2N-n-m)} \sqrt{\frac{(N-n)(N-m)\Gamma (2N-m+1)m!}{\Gamma (2N-n+1)n!}}.
</math>

초기 변수에 대한 고유 에너지는 다음과 같다.

:<math>E(v) = h\nu_0 (v+1/2) - \frac{\left[h\nu_0(v+1/2)\right]^2}{4D_e}</math>

<math>v</math> 는 진동 양자수, <math>\nu_0</math>는 진동수 단위를 가지며 입자의 질량<math>m</math>과 관련이 있다. 모스 퍼텐셜에 따르면 아래와 같다.

:<math>\nu_0 = \frac{a}{2\pi} \sqrt{2D_e/m}.</math>

[[양자 조화 진동자]]의 에너지 간극이 상수 <math>h\nu_0</math>인 반면, 모스 진동자의 에너지 간극은 <math>v</math>가 커질 수록 감수한다. 모스 진동자의 에너지 간극은 아래와 같다.

:<math>E(v+1) - E(v) = h\nu_0 - (v+1) (h\nu_0)^2/2D_e.\,</math>
실제 분자의 에너지 간극 추세를 따른다. <math>E(v_m+1) - E(v_m)</math> 이 음으로 계산될 때는 <math>v_m</math>이 맞지 않는다. 이때 <math>v_m</math>은 가장 높은 진동 상태 <math>E(v_m)</math>과 결합 해리 시점의 에너지의 차이로, 다음과 같다.
:<math>v_m = \frac{2D_e-h\nu_0}{h\nu_0}.</math>

이것은 모스 퍼텐셜의 진동은 유한하고, 분자가 속박된 상태를 유지하는 <math>v_m</math>은 유한하기 때문이다. <math>v_m</math>을 넘는 에너지가 주어지면 모든 에너지가 가능해지고 <math>E(v)</math>은 유효하지 않다.

<math>v_m</math>이하에서 <math>E(v)</math> 은 회전하지 않는 이원자 분자의 진동 에너지에 대한 좋은 근사이다. 실제 분자의 진동 에너지를 교정할 때 사용되는 식은 다음과 같다.<ref>CRC Handbook of chemistry and physics, Ed David R. Lide, 87th ed, Section 9, ''SPECTROSCOPIC CONSTANTS OF DIATOMIC MOLECULES'' pp.&nbsp;9–82</ref>
:<math> E_v / hc = \omega_e (v+1/2) - \omega_e\chi_e (v+1/2)^2\,</math>

이 식의 <math>\omega_e</math> 와 <math>\omega_e\chi_e</math> 는 모스 퍼텐셜과 직접적인 관련이 있다.

[[차원 분석]]에서 시작된 역사적인 이유에서 <math>\omega_e</math>는 <math>E=hc\omega</math>를 만족하는 [[파수]]를 의미하며, <math>E=\hbar\omega</math>식의 [[각진동수]]를 뜻하지 않는다

== Morse/Long-range potential ==

현대 분광학에서 쓰이는 모스 퍼텐셜의 중요한 확장은 MLR (Morse/Long-range) 퍼텐셜이다.<ref name=LeRoy(A-X) /> MLR potential은 이원자 분자의 퍼텐셜 곡선의 표준으로 사용된다. N<sub>2</sub>,<ref name=LeRoy(N2)>{{cite journal|last=Le Roy|first=R. J.|author2=Y. Huang |author3=C. Jary |title=An accurate analytic potential function for ground-state N<sub>2</sub> from a direct-potential-fit analysis of spectroscopic data|journal=Journal of Chemical Physics|year=2006|volume=125|issue=16|page=164310|doi=10.1063/1.2354502|bibcode=2006JChPh.125p4310L}}</ref> Ca<sub>2</sub>,<ref name=LeRoy(Ca2)>{{cite journal|last=Le Roy|first=Robert J.|author2=R. D. E. Henderson|title=A new potential function form incorporating extended long-range behaviour: application to ground-state Ca<sub>2</sub>|journal=Molecular Physics|year=2007|volume=105|issue=5–7|page=663|doi=10.1080/00268970701241656|bibcode=2007MolPh.105..663L}}</ref> KLi,<ref name=Salami(KLi)>{{cite journal|last=Salami|first=H.|author2=A. J. Ross |author3=P. Crozet |author4=W. 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==같이 보기 ==
*[[Morse/Long-range potential]]
*[[레너드존스 퍼텐셜]]
*[[분자 동역학]]

==References==
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{{Reflist|2}}

[[분류:양자화학]]