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{{학술 관련 정보}} | |||
== 정의 == | == 정의 == | ||
<math>0\le t<\infty</math>에서 정의된 [[함수]] ''f''에 대해, | <math>0\le t<\infty</math>에서 정의된 [[함수]] ''f''에 대해, | ||
: <math> | : <math>F(s)=\mathcal{L}(f(t))=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt\quad(s\in \mathbb{C})</math> | ||
를 ''f(t)''의 '''라플라스 변환(Laplace | 를 ''f(t)''의 '''라플라스 변환(Laplace transform)'''이라 한다. | ||
== 라플라스 변환의 존재성 == | |||
== 존재성 == | |||
라플라스 변환이 언제나 존재하는 것은 아니다. 예를 들어 <math>f(t)=e^{t^2}</math>라면 | 라플라스 변환이 언제나 존재하는 것은 아니다. 예를 들어 <math>f(t)=e^{t^2}</math>라면 | ||
: <math> | : <math>F(s)=\int_0^{\infty}e^{t^2-st}dt=\infty</math> | ||
이므로 ''f''의 라플라스 변환은 존재하지 않는다. 함수 ''f''에 대해 양수 ''M'', ''t''<sub>0</sub>와 실수 α가 존재하여 임의의 ''t''≥''t''<sub>0</sub>에 대해 | 이므로 ''f''의 라플라스 변환은 존재하지 않는다. 함수 ''f''에 대해 양수 ''M'', ''t''<sub>0</sub>와 실수 α가 존재하여 임의의 ''t''≥''t''<sub>0</sub>에 대해 | ||
: <math>|f(t)|\le M e^{\alpha t}</math> | : <math>|f(t)|\le M e^{\alpha t}</math> | ||
를 만족하면 ''f''는 지수적 차수(exponential order) α를 가진다고 한다. 만약 ''f''가 <math>[0,\infty)</math>에서 조각적 연속이고 지수적 차수 α를 가진다면, ''f''의 라플라스 변환은 <math>\operatorname{Re}s > \alpha</math>에서 존재하고 [[절대수렴]]한다 | 를 만족하면 ''f''는 지수적 차수(exponential order) α를 가진다고 한다. 만약 ''f''가 <math>[0,\infty)</math>에서 조각적 연속이고 지수적 차수 α를 가진다면, ''f''의 라플라스 변환은 <math>\operatorname{Re}s > \alpha</math>에서 존재하고 [[절대수렴]]한다. | ||
== 유일성 == | == 라플라스 변환의 유일성 == | ||
어떤 라플라스 변환에 대응되는 함수는 일반적으로 유일하지 않다. 예를 들어, 함수 ''f'', ''g''를 다음과 같이 정의하자. | 어떤 라플라스 변환에 대응되는 함수는 일반적으로 유일하지 않다. 예를 들어, 함수 ''f'', ''g''를 다음과 같이 정의하자. | ||
: <math>f(t)=e^{-t}</math> | : <math>f(t)=e^{-t}</math> | ||
: <math>g(t)=\begin{cases} | : <math>g(t)=\begin{cases} | ||
e^{-t} & (0\le x <1, 1< x<\infty)\\ | e^{-t} & (0\le x <1, 1<x<\infty)\\ | ||
1 & (x= 1) | 1 & (x= 1) | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
27번째 줄: | 23번째 줄: | ||
== 역라플라스 변환 == | == 역라플라스 변환 == | ||
<math>F(s)=\mathcal{L}(f(t))</math>이면 ''f(t)''를 ''F(s)''의 '''역라플라스 변환(Inverse laplace transformation)'''이라고 한다. 만약 ''f''가 <math>[0,\infty)</math>에서 연속이고 t<0일 때 ''f''(''t'')=0이며, 지수적 차수 α를 가지고 ''f' ''가 <math>[0,\infty)</math>에서 조각적 연속이면, 역라플라스 변환은 다음 공식으로 나타낼 수 있다. | <math>F(s)=\mathcal{L}(f(t))</math>이면 ''f(t)''를 ''F(s)''의 '''[[역라플라스 변환]](Inverse laplace transformation)'''이라고 한다. 만약 ''f''가 <math>[0,\infty)</math>에서 연속이고 t<0일 때 ''f''(''t'')=0이며, 지수적 차수 α를 가지고 ''f' ''가 <math>[0,\infty)</math>에서 조각적 연속이면, 역라플라스 변환은 다음 공식으로 나타낼 수 있다. | ||
: <math> | : <math>f(t)=\lim_{y\to\infty}\frac{1}{2\pi i}\int_{x-iy}^{x+iy}e^{ts}F(s)ds</math> (푸리에-멜린 반전공식) | ||
그런데 이 공식을 잘 쓰려면 [[유수 정리]] 같은 [[복소함수론]]의 정리를 잘 이용해야 하므로 복소함수론을 배우지 않았으면 이 공식 대신 라플라스 변환표에서 변환에 맞는 함수를 찾아서 쓴다. 적분을 직접 하고 싶다? 직접 해보자. 어떤 연속함수 ''f''의 라플라스 변환이 다음과 같이 주어졌다고 하자. | 그런데 이 공식을 잘 쓰려면 [[유수 정리]] 같은 [[복소함수론]]의 정리를 잘 이용해야 하므로 복소함수론을 배우지 않았으면 이 공식 대신 라플라스 변환표에서 변환에 맞는 함수를 찾아서 쓴다. 적분을 직접 하고 싶다? 직접 해보자. 어떤 연속함수 ''f''의 라플라스 변환이 다음과 같이 주어졌다고 하자. | ||
: <math> | : <math>F(s)=\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}</math> | ||
[[파일:Contourintla.png|섬네일 | [[파일:Contourintla.png|섬네일]] | ||
그러면 <math>F(s)</math>는 <math>s=\pm ai</math>에서 이차극점을 가진다. 이때 그림과 같이 [[복소평면]] 위에 점 (''x'',0)을 지나고 허수축과 평행인 직선 ED와, 원점을 중심으로 하고 경로가 DGFKE인 부분원 <math>C_R</math>을 생각하자. 이때 <math>R^2=x^2+y^2</math>이다. <math>R> a</math>이 되도록 충분한 ''R''을 설정할 수 있고, 이때 극점 <math>\pm ai</math>는 닫힌 경로 EDGFKE의 내부에 속한다. 이때 이 경로를 <math>\Gamma</math>라고 하자. 그러면 | 그러면 <math>F(s)</math>는 <math>s=\pm ai</math>에서 이차극점을 가진다. 이때 오른쪽의 그림과 같이 [[복소평면]] 위에 점 (''x'',0)을 지나고 허수축과 평행인 직선 ED와, 원점을 중심으로 하고 경로가 DGFKE인 부분원 <math>C_R</math>을 생각하자. 이때 <math>R^2=x^2+y^2</math>이다. <math>R>a</math>이 되도록 충분한 ''R''을 설정할 수 있고, 이때 극점 <math>\pm ai</math>는 닫힌 경로 EDGFKE의 내부에 속한다. 이때 이 경로를 <math>\Gamma</math>라고 하자. 그러면 | ||
: <math> | : <math>\int_{\Gamma}e^{ts}F(s)ds=\int_{ED}e^{ts}F(s)ds+\int_{C_R}e^{ts}F(s)ds</math> | ||
이다. 이때 | 이다. 이때 | ||
: <math> | : <math>\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}e^{ts}F(s)ds=0</math> | ||
이고<ref>Joel L. Schiff (1999). ''The Laplace Transform: Theory and Applications''. Springer. pp.154-155. | 이고<ref>Joel L. Schiff (1999). ''The Laplace Transform: Theory and Applications''. Springer. pp.154-155. ISBN 0387986987</ref> 유수 정리에 의해 | ||
: <math> | : <math>\int_{\Gamma}e^{ts}F(s)ds=2\pi i(\operatorname{Res}(ai)+\operatorname{Res}(-ai))</math> | ||
이다. 계산을 열심히 하면 | 이다. 계산을 열심히 하면 | ||
: <math> | : <math>\operatorname{Res}(ai)=-\frac{1}{2}ite^{iat},\quad \operatorname{Res}(ai)=\frac{1}{2}ite^{-iat}</math> | ||
이므로 | 이므로 | ||
: <math> | : <math>\begin{align}\int_{\Gamma}e^{ts}F(s)ds&=2\pi i\left(-\frac{1}{2}ite^{iat}+\frac{1}{2}ite^{-iat} \right)\\ | ||
&=2\pi i t\left(\frac{e^{iat}-e^{-iat}}{2i}\right)\\ | &=2\pi i t\left(\frac{e^{iat}-e^{-iat}}{2i}\right)\\ | ||
&=2\pi i t\sin at | &=2\pi i t\sin at | ||
47번째 줄: | 43번째 줄: | ||
이다. 이 식을 푸리에-멜린 반전공식에 대입하면 | 이다. 이 식을 푸리에-멜린 반전공식에 대입하면 | ||
: <math>f(t)=t\sin at</math> | : <math>f(t)=t\sin at</math> | ||
를 얻는다. 그런데 이거 라플라스 변환표에 기본적으로 | 를 얻는다. 그런데 이거 라플라스 변환표에 기본적으로 나와있는 것이므로, 이 문서처럼 쓸데없이 길게 적분하지 말고 변환표 외우자. | ||
== 성질 == | |||
* 선형성 | |||
: <math>\mathcal{L}(c_1 f_1(t)+c_2f_2(t))=c_1\mathcal{L}(f_1(t))+c_2\mathcal{L}(f_2(t))</math> | |||
* (고계)도함수 | |||
: <math>\mathcal{L}(f'(t))=s\mathcal{L}(f(t))-f(0)</math> | |||
: <math>\mathcal{L}(f''(t))=s^2\mathcal{L}(f(t))-sf(0)-f'(0)</math> | |||
: <math>\mathcal{L}(f^{(n)}(t))=s^n\mathcal{L}(f(t))-s^{n-1}f(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)</math> | |||
* ''t<sup>n</sup>''과 함수의 곱 | |||
: <math>\mathcal{L}(t^n f(t))=(-1)^n F^{(n)}(s)</math> | |||
* 적분으로 정의된 함수 | |||
: <math>\mathcal{L}\left(\int_0^t f(u)du\right)=\frac{F(s)}{s}</math> | |||
* 주기함수 | |||
: <math>f(t+T)=f(t)</math>일 때, | |||
: <math>\mathcal{L}(f(t))=\dfrac{\int_0^T e^{-st}f(t)dt}{1-e^{sT}}</math> | |||
* 합성곱 | |||
: <math>(f * g)(t)=\int_0^{\tau} f(\tau)g(t - \tau)d\tau</math>일 때, | |||
: <math>\mathcal{L}((f * g)(t))=F(s)G(s)</math> | |||
== 라플라스 변환표 ==<!-- 빈 부분을 채워주세요 --> | == 라플라스 변환표 ==<!-- 빈 부분을 채워주세요 --> | ||
공업수학에서 필수적으로 이 관련 표가 나온다. 적어도 이 표는 죄다 | 공업수학에서 필수적으로 이 관련 표가 나온다. 적어도 이 표는 죄다 외워주는게 {{ㅊ|시험보기}} 편하다. | ||
{{ㅊ|이걸 어떻게 다 외워? 살려줘~~}} | {{ㅊ|이걸 어떻게 다 외워? 살려줘~~}} | ||
119번째 줄: | 70번째 줄: | ||
! <math>f(t)</math> | ! <math>f(t)</math> | ||
! <math>\mathcal{L}(f)</math> | ! <math>\mathcal{L}(f)</math> | ||
! | ! 수렴범위 | ||
|- style="text-align:center;" | |- style="text-align:center;" | ||
| 1 | | 1 | ||
152번째 줄: | 103번째 줄: | ||
| <math>\frac{s}{s^2-a^2}</math> | | <math>\frac{s}{s^2-a^2}</math> | ||
| <math>\operatorname{Re} s> |a|</math> | | <math>\operatorname{Re} s> |a|</math> | ||
|- style="text-align:center;" | |- style="text-align:center;" | ||
| <math>e^{at}</math> | | <math>e^{at}</math> | ||
188번째 줄: | 130번째 줄: | ||
| colspan=3 | '''참고사항'''. | | colspan=3 | '''참고사항'''. | ||
#<math>\Gamma(t)</math>는 [[감마함수]]. | #<math>\Gamma(t)</math>는 [[감마함수]]. | ||
#<math>H_c(t)</math>는 [[헤비사이드 함수]]. | #<math>H_c(t)</math>는 [[헤비사이드 함수]]. | ||
#<math>\delta_c(t)</math>는 [[디랙 델타 함수]]. | #<math>\delta_c(t)</math>는 [[디랙 델타 함수]]. | ||
|} | |} | ||
194번째 줄: | 136번째 줄: | ||
{{ㅊ|이걸 어떻게 다 외워? 살려줘~~}} | {{ㅊ|이걸 어떻게 다 외워? 살려줘~~}} | ||
== | == 라플라스 변환의 활용 == | ||
=== 미분방정식의 풀이 === | === 미분방정식의 풀이 === | ||
라플라스는 미분방정식을 푸는 데 유용하다. 미분방정식 | |||
: <math>\frac{d^2x}{dt^2}+2\beta \frac{dx}{dt}+w_0^2 x = 0</math><ref>[[조화 단진자]]의 감쇠진동을 나타나는 [[운동방정식]]이다. | : <math>\frac{d^2x}{dt^2}+2\beta \frac{dx}{dt}+w_0^2 x = 0</math><ref>[[조화 단진자]]의 감쇠진동을 나타나는 [[운동방정식]]이다. Stephen T. Thornton · Jerry B. Marion (2011). 강석태 옮김. 『일반역학』(제5판). Cengage Learning. p.118. ISBN 9788962183009</ref> | ||
이 주어졌다고 하자. 이때 양변의 라플라스 변환은 | 이 주어졌다고 하자. 이때 양변의 라플라스 변환은 | ||
: <math> (s^2F(s)-sf(0)-f'(0))+2\beta(sF(s)-f(0))+w_0^2F(s)=0</math> | : <math> (s^2F(s)-sf(0)-f'(0))+2\beta(sF(s)-f(0))+w_0^2F(s)=0</math> | ||
224번째 줄: | 153번째 줄: | ||
: <math>x(t)=f(0)e^{-\beta t}\cos(\sqrt{w_0^2-\beta^2}t)+\frac{\beta f(0)+f'(0)}{\sqrt{w_0^2-\beta^2}}\cdot e^{-\beta t}\sin(\sqrt{w_0^2-\beta^2}t)</math> | : <math>x(t)=f(0)e^{-\beta t}\cos(\sqrt{w_0^2-\beta^2}t)+\frac{\beta f(0)+f'(0)}{\sqrt{w_0^2-\beta^2}}\cdot e^{-\beta t}\sin(\sqrt{w_0^2-\beta^2}t)</math> | ||
를 얻는다.{{ㅊ|어때요, 정말 쉽죠?}} | 를 얻는다.{{ㅊ|어때요, 정말 쉽죠?}} | ||
=== 이상적분의 계산 === | === 이상적분의 계산 === | ||
라플라스 변환을 이용하면 [[부정적분]]이 [[초등함수]]로 나타나지 않는 함수의 [[이상적분]]을 계산할 수 있다. 이상적분 | 라플라스 변환을 이용하면 [[부정적분]]이 [[초등함수]]로 나타나지 않는 함수의 [[이상적분]]을 계산할 수 있다. 이상적분 | ||
: <math>\int_0^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx</math> | : <math>\int_0^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx</math> | ||
를 계산해보자. <math>f(x)=\dfrac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}</math>라 하면 <math>xf(x)=e^{-x}-e^{-2x}</math>이다. ''f''의 라플라스 변환을 F(s)라 하면 | 를 계산해보자. <math>f(x)=\dfrac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}</math>라 하면 <math>xf(x)=e^{-x}-e^{-2x}</math>이다. ''f''의 라플라스 변환을 F(s)라 하면 | ||
: <math> - \frac{dF(s)}{ds}=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}</math> | : <math> - \frac{dF(s)}{ds}=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}</math> | ||
이다. 정리하면 | 이다. 정리하면 | ||
265번째 줄: | 165번째 줄: | ||
이며, <math>s=0</math>을 대입하면 | 이며, <math>s=0</math>을 대입하면 | ||
: <math>\int_0^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx=\ln 2</math> | : <math>\int_0^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx=\ln 2</math> | ||
를 얻는다. | 를 얻는다. | ||
=== 점화식의 일반항 계산 === | === 점화식의 일반항 계산 === | ||
라플라스 변환을 이용해 점화식으로 주어진 수열의 일반항을 구할 수 있다. | 라플라스 변환을 이용해 점화식으로 주어진 수열의 일반항을 구할 수 있다. | ||
: <math>\mathcal{L}(a^{\lfloor t \rfloor})=\frac{1-e^{-s}}{s(1-ae^{-s})}</math> | : <math>\mathcal{L}(a^{\lfloor t \rfloor})=\frac{1-e^{-s}}{s(1-ae^{-s})}</math> | ||
임<ref>Joel L. Schiff (1999). ''The Laplace Transform: Theory and Applications''. Springer. pp.109-110. | 임<ref>Joel L. Schiff (1999). ''The Laplace Transform: Theory and Applications''. Springer. pp.109-110. ISBN 0387986987</ref>을 이용하여 점화식 | ||
: <math>a_{n+2}-a_{n+1}-a_n=0,\;a_0=0,\;a_1=1</math> | : <math>a_{n+2}-a_{n+1}-a_n=0,\;a_0=0,\;a_1=1</math> | ||
으로 주어진 [[피보나치 수열]]의 일반항을 구해보자. 함수 ''f''를 | 으로 주어진 [[피보나치 수열]]의 일반항을 구해보자. 함수 ''f''를 | ||
298번째 줄: | 193번째 줄: | ||
&=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\mathcal{L}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{\lfloor t \rfloor}\right)-\mathcal{L}\left(\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{\lfloor t \rfloor}\right)\right) | &=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\mathcal{L}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{\lfloor t \rfloor}\right)-\mathcal{L}\left(\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{\lfloor t \rfloor}\right)\right) | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
이므로 <math>\bigcup_{m\in\mathbb{N}}(m,m+1)</math>에서<ref><math>0\in\mathbb{N}</math>으로 간주한다.</ref> | 이므로 <math>\bigcup_{m\in\mathbb{N}}(m,m+1)</math>에서<ref><math>0\in \mathbb{N}</math>으로 간주한다.</ref> | ||
: <math>f(t)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{\lfloor t \rfloor}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{\lfloor t \rfloor}\right)</math> | : <math>f(t)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{\lfloor t \rfloor}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{\lfloor t \rfloor}\right)</math> | ||
이고, <math>t=n+\frac{1}{2}</math>을 대입하면 | 이고, <math>t=n+\frac{1}{2}</math>을 대입하면 |