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== 정의 == | == 정의 == | ||
<math>0\le t<\infty</math>에서 정의된 [[함수]] ''f''에 대해, | <math>0\le t<\infty</math>에서 정의된 [[함수 (수학)|함수]] ''f''에 대해, | ||
: <math> | : <math>F(s)=\mathcal{L}(f(t))=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt\quad(s\in \mathbb{C})</math> | ||
를 ''f(t)''의 '''라플라스 변환(Laplace transform)''', 또는 '''단방향 라플라스 변환(Unilateral laplace transform)'''이라 한다. 그러면 "양방향"도 있을 것 같은데, 실제로 쓰고 있다.<br />함수가 <math>-\infty< t<\infty</math>에서 정의되어 있을 때, | 를 ''f(t)''의 '''라플라스 변환(Laplace transform)''', 또는 '''단방향 라플라스 변환(Unilateral laplace transform)'''이라 한다. 그러면 "양방향"도 있을 것 같은데, 실제로 쓰고 있다.<br />함수가 <math>-\infty< t<\infty</math>에서 정의되어 있을 때, | ||
:<math> | :<math>\mathcal{B}(f(t))=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-st}f(t)dt</math> | ||
를 '''양방향 라플라스 변환(Bilateral laplace transform)'''이라 한다. 이 문서에서는 단방향 라플라스 변환에 대해서만 다룬다. | 를 '''양방향 라플라스 변환(Bilateral laplace transform)'''이라 한다. 이 문서에서는 단방향 라플라스 변환에 대해서만 다룬다. | ||
== 존재성 == | == 존재성 == | ||
라플라스 변환이 언제나 존재하는 것은 아니다. 예를 들어 <math>f(t)=e^{t^2}</math>라면 | 라플라스 변환이 언제나 존재하는 것은 아니다. 예를 들어 <math>f(t)=e^{t^2}</math>라면 | ||
: <math> | : <math>F(s)=\int_0^{\infty}e^{t^2-st}dt=\infty</math> | ||
이므로 ''f''의 라플라스 변환은 존재하지 않는다. 함수 ''f''에 대해 양수 ''M'', ''t''<sub>0</sub>와 실수 α가 존재하여 임의의 ''t''≥''t''<sub>0</sub>에 대해 | 이므로 ''f''의 라플라스 변환은 존재하지 않는다. 함수 ''f''에 대해 양수 ''M'', ''t''<sub>0</sub>와 실수 α가 존재하여 임의의 ''t''≥''t''<sub>0</sub>에 대해 | ||
: <math>|f(t)|\le M e^{\alpha t}</math> | : <math>|f(t)|\le M e^{\alpha t}</math> | ||
를 만족하면 ''f''는 지수적 차수(exponential order) α를 가진다고 한다. 만약 ''f''가 <math>[0,\infty)</math>에서 조각적 연속이고 지수적 차수 α를 가진다면, ''f''의 라플라스 변환은 <math>\operatorname{Re}s > \alpha</math>에서 존재하고 [[절대수렴]]한다. 단, 역은 성립하지 않는다. 예를 들어 <math>f(t)=\ln t</math>는 <math>[0,\infty)</math>에서 조각적 연속이 아니지만 | 를 만족하면 ''f''는 지수적 차수(exponential order) α를 가진다고 한다. 만약 ''f''가 <math>[0,\infty)</math>에서 조각적 연속이고 지수적 차수 α를 가진다면, ''f''의 라플라스 변환은 <math>\operatorname{Re}s > \alpha</math>에서 존재하고 [[절대수렴]]한다. 단, 역은 성립하지 않는다. 예를 들어 <math>f(t)=\ln t</math>는 <math>[0,\infty)</math>에서 조각적 연속이 아니지만 | ||
: <math> | : <math>\mathcal{L}(\ln t)=-\frac{\ln s +\gamma}{s}</math> | ||
이다. 이때 γ는 [[오일러-마스케로니 상수]]다. | 이다. 이때 γ는 [[오일러-마스케로니 상수]]다. | ||
28번째 줄: | 28번째 줄: | ||
== 역라플라스 변환 == | == 역라플라스 변환 == | ||
<math>F(s)=\mathcal{L}(f(t))</math>이면 ''f(t)''를 ''F(s)''의 '''역라플라스 변환(Inverse laplace transformation)'''이라고 한다. 만약 ''f''가 <math>[0,\infty)</math>에서 연속이고 t<0일 때 ''f''(''t'')=0이며, 지수적 차수 α를 가지고 ''f' ''가 <math>[0,\infty)</math>에서 조각적 연속이면, 역라플라스 변환은 다음 공식으로 나타낼 수 있다. | <math>F(s)=\mathcal{L}(f(t))</math>이면 ''f(t)''를 ''F(s)''의 '''역라플라스 변환(Inverse laplace transformation)'''이라고 한다. 만약 ''f''가 <math>[0,\infty)</math>에서 연속이고 t<0일 때 ''f''(''t'')=0이며, 지수적 차수 α를 가지고 ''f' ''가 <math>[0,\infty)</math>에서 조각적 연속이면, 역라플라스 변환은 다음 공식으로 나타낼 수 있다. | ||
: <math> | : <math>f(t)=\lim_{y\to\infty}\frac{1}{2\pi i}\int_{x-iy}^{x+iy}e^{ts}F(s)ds</math> (푸리에-멜린 반전공식) | ||
그런데 이 공식을 잘 쓰려면 [[유수 정리]] 같은 [[복소함수론]]의 정리를 잘 이용해야 하므로 복소함수론을 배우지 않았으면 이 공식 대신 라플라스 변환표에서 변환에 맞는 함수를 찾아서 쓴다. 적분을 직접 하고 싶다? 직접 해보자. 어떤 연속함수 ''f''의 라플라스 변환이 다음과 같이 주어졌다고 하자. | 그런데 이 공식을 잘 쓰려면 [[유수 정리]] 같은 [[복소함수론]]의 정리를 잘 이용해야 하므로 복소함수론을 배우지 않았으면 이 공식 대신 라플라스 변환표에서 변환에 맞는 함수를 찾아서 쓴다. 적분을 직접 하고 싶다? 직접 해보자. 어떤 연속함수 ''f''의 라플라스 변환이 다음과 같이 주어졌다고 하자. | ||
: <math> | : <math>F(s)=\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}</math> | ||
[[파일:Contourintla.png|섬네일|그림은 복소함수의 경로적분 설정. 푸리에-멜린 반전공식 하나를 이용하기 위해 적분경로를 설정하고 유수 정리를 활용해야 한다. 학부 수준에서 쓸 만한 역변환은 표에 거의 다 나와 있으므로, 차라리 그걸 외우자.]] | [[파일:Contourintla.png|섬네일|그림은 복소함수의 경로적분 설정. 푸리에-멜린 반전공식 하나를 이용하기 위해 적분경로를 설정하고 유수 정리를 활용해야 한다. 학부 수준에서 쓸 만한 역변환은 표에 거의 다 나와 있으므로, 차라리 그걸 외우자.]] | ||
그러면 <math>F(s)</math>는 <math>s=\pm ai</math>에서 이차극점을 가진다. 이때 그림과 같이 [[복소평면]] 위에 점 (''x'',0)을 지나고 허수축과 평행인 직선 ED와, 원점을 중심으로 하고 경로가 DGFKE인 부분원 <math>C_R</math>을 생각하자. 이때 <math>R^2=x^2+y^2</math>이다. <math>R> a</math>이 되도록 충분한 ''R''을 설정할 수 있고, 이때 극점 <math>\pm ai</math>는 닫힌 경로 EDGFKE의 내부에 속한다. 이때 이 경로를 <math>\Gamma</math>라고 하자. 그러면 | 그러면 <math>F(s)</math>는 <math>s=\pm ai</math>에서 이차극점을 가진다. 이때 그림과 같이 [[복소평면]] 위에 점 (''x'',0)을 지나고 허수축과 평행인 직선 ED와, 원점을 중심으로 하고 경로가 DGFKE인 부분원 <math>C_R</math>을 생각하자. 이때 <math>R^2=x^2+y^2</math>이다. <math>R> a</math>이 되도록 충분한 ''R''을 설정할 수 있고, 이때 극점 <math>\pm ai</math>는 닫힌 경로 EDGFKE의 내부에 속한다. 이때 이 경로를 <math>\Gamma</math>라고 하자. 그러면 | ||
: <math> | : <math>\int_{\Gamma}e^{ts}F(s)ds=\int_{ED}e^{ts}F(s)ds+\int_{C_R}e^{ts}F(s)ds</math> | ||
이다. 이때 | 이다. 이때 | ||
: <math> | : <math>\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}e^{ts}F(s)ds=0</math> | ||
이고<ref>Joel L. Schiff (1999). ''The Laplace Transform: Theory and Applications''. Springer. pp.154-155. | 이고<ref>Joel L. Schiff (1999). ''The Laplace Transform: Theory and Applications''. Springer. pp.154-155. ISBN 0387986987</ref> 유수 정리에 의해 | ||
: <math> | : <math>\int_{\Gamma}e^{ts}F(s)ds=2\pi i(\operatorname{Res}(ai)+\operatorname{Res}(-ai))</math> | ||
이다. 계산을 열심히 하면 | 이다. 계산을 열심히 하면 | ||
: <math> | : <math>\operatorname{Res}(ai)=-\frac{1}{2}ite^{iat},\quad \operatorname{Res}(-ai)=\frac{1}{2}ite^{-iat}</math> | ||
이므로 | 이므로 | ||
: <math> | : <math>\begin{align}\int_{\Gamma}e^{ts}F(s)ds&=2\pi i\left(-\frac{1}{2}ite^{iat}+\frac{1}{2}ite^{-iat} \right)\\ | ||
&=2\pi i t\left(\frac{e^{iat}-e^{-iat}}{2i}\right)\\ | &=2\pi i t\left(\frac{e^{iat}-e^{-iat}}{2i}\right)\\ | ||
&=2\pi i t\sin at | &=2\pi i t\sin at | ||
93번째 줄: | 93번째 줄: | ||
=== 증명 === | === 증명 === | ||
1. [[적분]]의 성질에 의해 쉽게 증명할 수 있다.</ | 1. [[적분]]의 성질에 의해 쉽게 증명할 수 있다.<p/> | ||
2. <math>\mathcal{L}\left\{f'\left(t\right)\right\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f'\left(t\right)dt = \left[e^{-st}f\left(t\right)\right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty}se^{-st}f\left(t\right)dt = sF\left(s\right) - f\left(0\right)</math> (부분적분) | 2. <math>\mathcal{L}\left\{f'\left(t\right)\right\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f'\left(t\right)dt = \left[e^{-st}f\left(t\right)\right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty}se^{-st}f\left(t\right)dt = sF\left(s\right) - f\left(0\right)</math> (부분적분) | ||
위를 반복하면 된다. </ | 위를 반복하면 된다. <p/> | ||
3. <math>F\left(s\right) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f\left(t\right)dt</math> | 3. <math>F\left(s\right) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f\left(t\right)dt</math> | ||
<math>F'\left(s\right) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}\left(-tf\left(t\right)\right)dt = \mathcal{L}\left\{-tf\left(t\right)\right\}</math> | <math>F'\left(s\right) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}\left(-tf\left(t\right)\right)dt = \mathcal{L}\left\{-tf\left(t\right)\right\}</math> | ||
위를 반복하면 된다.</ | 위를 반복하면 된다.<p/> | ||
4.<math>\mathcal{L}\left\{e^{at}f\left(t\right)\right\} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}f\left(t\right)dt = \int_{0}^{\infty}e^{-\left(s-a\right)}f\left(t\right)dt = F\left(s-a\right)</math></ | 4.<math>\mathcal{L}\left\{e^{at}f\left(t\right)\right\} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}f\left(t\right)dt = \int_{0}^{\infty}e^{-\left(s-a\right)}f\left(t\right)dt = F\left(s-a\right)</math><p/> | ||
5. <math>\int_{s}^{\infty}F\left(u\right)du = \int_{s}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-ut}f\left(t\right)dtdu = \int_{0}^{\infty}\int_{s}^{\infty}e^{-ut}f\left(t\right)dudt = </math><br /><math>\int_{0}^{\infty}f\left(t\right)\int_{s}^{\infty}e^{-ut}dudt = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{t}e^{-st}f\left(t\right)dt = L\left\{\frac{f\left(t\right)}{t}\right\}</math> | 5. <math>\int_{s}^{\infty}F\left(u\right)du = \int_{s}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-ut}f\left(t\right)dtdu = \int_{0}^{\infty}\int_{s}^{\infty}e^{-ut}f\left(t\right)dudt = </math><br/><math>\int_{0}^{\infty}f\left(t\right)\int_{s}^{\infty}e^{-ut}dudt = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{t}e^{-st}f\left(t\right)dt = L\left\{\frac{f\left(t\right)}{t}\right\}</math> | ||
<br /> | <br/> | ||
[[푸비니의 정리]]를 사용하며, 함수 <math>f\left(t\right)</math>의 라플라스 변환과 <math>\lim_{t \to 0}\frac{f\left(t\right)}{t}</math>가 존재한다는 가정이 필요하다.</ | [[푸비니의 정리]]를 사용하며, 함수 <math>f\left(t\right)</math>의 라플라스 변환과 <math>\lim_{t \to 0}\frac{f\left(t\right)}{t}</math>가 존재한다는 가정이 필요하다.<p/> | ||
8. <math>\mathcal{L}\left\{f*g\right\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\int_{0}^{t}f\left(t-u\right)g\left(u\right)dudt = \int_{0}^{\infty}\int_{u}^{\infty}e^{-su}g\left(u\right)e^{-s\left(t-u\right)}f\left(t-u\right)dtdu = </math><br /><math>\int_{0}^{\infty}e^{-su}g\left(u\right)\int_{u}^{\infty}e^{-s\left(t-u\right)}f\left(t-u\right)dtdu</math> | 8. <math>\mathcal{L}\left\{f*g\right\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\int_{0}^{t}f\left(t-u\right)g\left(u\right)dudt = \int_{0}^{\infty}\int_{u}^{\infty}e^{-su}g\left(u\right)e^{-s\left(t-u\right)}f\left(t-u\right)dtdu = </math><br/><math>\int_{0}^{\infty}e^{-su}g\left(u\right)\int_{u}^{\infty}e^{-s\left(t-u\right)}f\left(t-u\right)dtdu</math> | ||
<br /> | <br/> | ||
<math>\xi = t-u</math>라 치환하면, <math>\int_{0}^{\infty}e^{-su}g\left(u\right)\int_{0}^{\infty}e^{-s\xi}f\left(\xi\right)d\xi du=F(s)G(s)</math> | <math>\xi = t-u</math>라 치환하면, <math>\int_{0}^{\infty}e^{-su}g\left(u\right)\int_{0}^{\infty}e^{-s\xi}f\left(\xi\right)d\xi du=F(s)G(s)</math> | ||
<br /> | <br/> | ||
적분 순서의 변경과 푸비니의 정리를 사용한다. | 적분 순서의 변경과 푸비니의 정리를 사용한다. | ||
210번째 줄: | 210번째 줄: | ||
=== 미분방정식의 풀이 === | === 미분방정식의 풀이 === | ||
미분방정식 교재 여럿이 이계 미분방정식을 푸는 방법으로 라플라스 변환을 도입한다. 미분방정식 | 미분방정식 교재 여럿이 이계 미분방정식을 푸는 방법으로 라플라스 변환을 도입한다. 미분방정식 | ||
: <math>\frac{d^2x}{dt^2}+2\beta \frac{dx}{dt}+w_0^2 x = 0</math><ref>[[조화 단진자]]의 감쇠진동을 나타나는 [[운동방정식]]이다. | : <math>\frac{d^2x}{dt^2}+2\beta \frac{dx}{dt}+w_0^2 x = 0</math><ref>[[조화 단진자]]의 감쇠진동을 나타나는 [[운동방정식]]이다. Stephen T. Thornton · Jerry B. Marion (2011). 강석태 옮김. 『일반역학』(제5판). Cengage Learning. p.118. ISBN 9788962183009</ref> | ||
이 주어졌다고 하자. 이때 양변의 라플라스 변환은 | 이 주어졌다고 하자. 이때 양변의 라플라스 변환은 | ||
: <math> (s^2F(s)-sf(0)-f'(0))+2\beta(sF(s)-f(0))+w_0^2F(s)=0</math> | : <math> (s^2F(s)-sf(0)-f'(0))+2\beta(sF(s)-f(0))+w_0^2F(s)=0</math> | ||
275번째 줄: | 275번째 줄: | ||
라플라스 변환을 이용해 점화식으로 주어진 수열의 일반항을 구할 수 있다. | 라플라스 변환을 이용해 점화식으로 주어진 수열의 일반항을 구할 수 있다. | ||
: <math>\mathcal{L}(a^{\lfloor t \rfloor})=\frac{1-e^{-s}}{s(1-ae^{-s})}</math> | : <math>\mathcal{L}(a^{\lfloor t \rfloor})=\frac{1-e^{-s}}{s(1-ae^{-s})}</math> | ||
임<ref>Joel L. Schiff (1999). ''The Laplace Transform: Theory and Applications''. Springer. pp.109-110. | 임<ref>Joel L. Schiff (1999). ''The Laplace Transform: Theory and Applications''. Springer. pp.109-110. ISBN 0387986987</ref>을 이용하여 점화식 | ||
: <math>a_{n+2}-a_{n+1}-a_n=0,\;a_0=0,\;a_1=1</math> | : <math>a_{n+2}-a_{n+1}-a_n=0,\;a_0=0,\;a_1=1</math> | ||
으로 주어진 [[피보나치 수열]]의 일반항을 구해보자. 함수 ''f''를 | 으로 주어진 [[피보나치 수열]]의 일반항을 구해보자. 함수 ''f''를 |