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| | {{학술}} |
| | {{토막글}} |
| == 정의 == | | == 정의 == |
| ''V''를 [[체 (수학)|체]] <math>F\;(F=\mathbb{R}\text{ or }\mathbb{C})</math> 위에 주어진 [[벡터공간]]이라고 하자. [[함수]] <math>(\cdot,\cdot):V\times V\to F</math>가 임의의 <math>\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in V</math>와 <math>c\in F</math>에 대해 | | ''V''를 [[체 (수학)|체]] <math>F\;(F=\mathbb{R}\text{ or }\mathbb{C})</math> 위에 주어진 [[벡터공간]]이라고 하자. 함수 <math>(\cdot,\cdot):V\times V\to F</math>가 임의의 <math>\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in V</math>와 <math>c\in F</math>에 대해 |
| : (1) <math>(\mathbf{x},\mathbf{x})\ge 0</math> | | : (1) <math>(\mathbf{x},\mathbf{x})\ge 0</math> |
| : (1a) <math>(\mathbf{x},\mathbf{x})=0 \Leftrightarrow \mathbf{x}=0</math> | | : (1a) <math>(\mathbf{x},\mathbf{x})=0 \Leftrightarrow \mathbf{x}=0</math> |
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| 을 만족하면 <math>(\cdot,\cdot)</math>를 '''내적(inner product)'''이라고 한다. 만약 벡터공간에 내적이 주어져 있으면 '''내적공간(inner product space)'''이라고 한다. | | 을 만족하면 <math>(\cdot,\cdot)</math>를 '''내적(inner product)'''이라고 한다. 만약 벡터공간에 내적이 주어져 있으면 '''내적공간(inner product space)'''이라고 한다. |
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| == 내적의 예시 ==
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| * 스칼라곱(dot product): <math>\mathbf{u},\mathbf{v}\in \mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>\mathbf{u}=(u_1,u_2,\cdots,u_n),\mathbf{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n)</math>일 때, <math>\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\sum_{i=1}^n u_i v_i</math>
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| * <math>[a,b]</math>에서 [[연속]]인 함수 <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math>의 집합을 <math>C[a,b]</math>라 하자. <math>f,g\in C[a,b]</math>에 대해 <math>(f,g)=\int_a^b f(x)g(x)dx</math>는 내적이다.
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| == 성질 ==
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| [[추가바람]]
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| == 행렬 표현 ==
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| <math>B=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\}</math>이 <math>n</math>차원 내적공간 <math>V</math>의 [[기저]]라고 하자. 그러면 <math>\mathbf{u},\mathbf{v}\in V</math>에 대해
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| : <math>\mathbf{u}=\sum_{i=1}^n a_i\mathbf{v}_i</math>
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| : <math>\mathbf{v}=\sum_{i=1}^n b_i\mathbf{v}_i</math>
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| 인 <math>a_i,b_i\;(i=1,2,\dots,n)</math>이 존재한다. 그러면 내적의 정의에 의해
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| : <math>\begin{align}
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| (\mathbf{u},\mathbf{v})&=\left(\sum_{i=1}^n a_i\mathbf{v}_i,\sum_{i=1}^n b_i\mathbf{v}_i\right)\\
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| &=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i \overline{b_j} (\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j)
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| \end{align}</math>
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| 이다. 이때 [[행렬]]
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| : <math>A=\begin{bmatrix}
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| (\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1) & (\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2) & \cdots & (\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_n)\\
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| (\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_1) & (\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_2) & \cdots & (\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_n)\\
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| \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
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| (\mathbf{v}_n,\mathbf{v}_1) & (\mathbf{v}_n,\mathbf{v}_2) & \cdots & (\mathbf{v}_n,\mathbf{v}_n)\\
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| \end{bmatrix}</math>
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| 를 기저 <math>B</math>에 관련된 내적행렬이라고 한다. [[좌표벡터]] <math>[\mathbf{u}]_B=(a_1,a_2,\cdots,a_n),[\mathbf{v}]_B=(b_1,b_2,\cdots,b_n)</math>를 이용하면
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| : <math>(\mathbf{u},\mathbf{v})=[\mathbf{v}]_B^\dagger A [\mathbf{u}]_B</math>
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| 이다.
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| == 같이 보기 == | | == 같이 보기 == |
| * [[코시-슈바르츠 부등식]] | | * [[코시-슈바르츠 부등식]] |
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| [[분류:선형대수학]]
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