로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! Nine-point Circle == 개요 == 구점원이란, [[삼각형]]의 아홉가지 점을 지나는 원을 말한다. 여기서 아홉가지 점이란, 각 변의 중점, 각 꼭짓점에서 그 대변의 수선의 발, 각 꼭짓점과 [[수심]] 사이의 중점, 이렇게 9개 점을 말한다. 평면기하학의 신비 중 하나로, 그 어떤 삼각형이라도 저 많은 점들이 다 한 원 위에 존재한다. 구점원을 부르는 다른 이름으로는 포이어바흐 원 ([[포이어바흐 정리]]에서 따옴), 오일러 원([[오일러 직선]]에서 따옴) 이라고도 부른다. == 증명 == [[파일:구점원.png]] 점 <math>A,B,C</math>에서 각 대변에 내린 수선의 발을 <math>D,E,F</math>라 하고, 세 수선의 교점을 <math>H</math>라 하자. 그리고 변 <math>\overline{BC},\,\overline{CA},\,\overline{AB}</math>의 중점을 각각 <math>L,M,N</math>이라 하자. 마지막으로, <math>\overline{AH},\,\overline{BH},\,\overline{CH}</math>의 중점을 각각 <math>P,Q,R</math>이라고 하자. 먼저 사각형 <math>ENLM</math>을 살펴보자 (빨간색 실선). [[중점연결정리]]에 의해 <math>\overline{NL}\parallel\overline{AC}</math>이므로 사각형 <math>ENLM</math>은 [[사다리꼴]]이다. 이제 두 대각선을 보자 (빨간색 점선). 다시 한번 중점연결정리에 의해 <math>\overline{NM}=\frac{1}{2}\overline{BC}</math>이다. 한편, <math>\triangle{BEC}</math>는 [[직각삼각형]]이므로 빗변의 중점 <math>L</math>은 [[외심]]이 되며, 따라서 <math>\overline{BL}=\overline{EL}=\frac{1}{2}\overline{BC}</math>이다. 즉, <math>\overline{NM}=\overline{EL}</math>이므로, 사다리꼴 <math>ENLM</math>은 등변사다리꼴이다. 등변사다리꼴은 반드시 원에 내접하므로, 점 <math>E,N,L,M</math>은 [[공원점]]이다. 같은 방법으로 사각형 <math>FNLM, DLMN</math>이 등변사다리꼴임을 보일 수 있고, 이 세 사다리꼴은 모두 <math>L,M,N</math>을 포함하므로 한 원 위에 있다. 따라서 점 <math>D,E,F,L,M,N</math>은 공원점이다. 이제 삼각형 <math>\triangle{BHC}</math>에서, 중점연결정리에 의해 <math>\overline{QL}\parallel\overline{HC}</math>이고, 따라서 <math>\overline{QL}\parallel\overline{FC}</math>이다. 또한, 다시 한번 중점연결정리에 의해 <math>\overline{ML}\parallel\overline{AB}</math>임을 알 수 있다. 이 두 사실에서, <math>\angle{QLB}=\angle{FCB},\,\angle{MLC}=\angle{ABC}</math>([[동위각]])이다. 한편, <math>\triangle{FBC}</math>에서 <math>\angle{F}</math>가 직각이므로, <math>\angle{FBC}+\angle{FCB}=90^\circ</math>이다. 따라서 <math>\angle{QLB}+\angle{MLC}=90^\circ</math>이고, 곧 <math>\angle{QLM}=90^\circ</math>이다. 그런데 <math>E</math>는 꼭짓점 <math>B</math>에서 내린 수선의 발이므로, <math>\angle{QEM}=90^\circ</math>. 따라서 사각형 <math>EQLM</math>은 두 대각의 합이 <math>180^\circ</math>이고, 원에 내접한다. '''특히, <math>\overline{QM}</math>이 그 원의 지름이다.''' 같은 방법으로 사각형 <math>FNLR,PDLM</math>이 공원점임을 보일 수 있다. 또한, 이 세 사각형은 모두 점<math>D,E,F,L,M,N</math> 중 세 점을 포함하므로, 같은 원 위에 있다. 따라서 점 <math>D,E,F,L,M,N,P,Q,R</math>은 한 원 위에 있다. == 성질 == 1. <math>\overline{PL}=\overline{QM}=\overline{RN}</math>이다. 세 선분 모두 구점원의 지름이므로 성립한다. [[파일:세르보어의 정리.png]] 2. 세르보어의 정리: 외심을 <math>O</math>라 했을 때, <math>\overline{AH}=2\overline{OL}</math>이다. 증명은 [[오일러 직선]] 항목을 참조. 3. [[오일러 직선]]: 삼각형의 [[수심]], [[외심]], [[무게중심]], 구원점의 중심은 [[공선점]]이다. 증명은 항목 참조. 4. [[포이어바흐 정리]]: 구점원은 삼각형의 내접원과 세 방접원에 모두 접한다. 5. 구점원의 지름은 외접원의 지름의 절반이다. <math>\triangle{AHX}</math>에서 [[중점연결정리]]에 의해 <math>\overline{PL}=\frac{1}{2}\overline{AX}</math>이기 때문. 6. 구점원의 중심은 <math>\overline{OH}</math>의 중점이다. 세르보어의 정리에서 <math>\overline{PH}=\overline{OL}</math>을 유도 가능하고, 따라서 <math>PHLO</math>는 평행사변형이다. 평행사변형의 두 중점은 서로를 이등분하고, 더욱이 <math>\overline{PL}</math>이 구점원의 지름이므로, <math>\overline{OH}</math>의 중점은 구점원의 중심. == 관련 항목 == *[[오일러 직선]] *[[포이어바흐 정리]] *[[삼각형]] [[분류:기하학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț