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{{학술}} | |||
'''교환법칙'''(commutative law)은 두 대상을 연산할 때 연산하는 순서가 관계없음을 말한다. 즉, a+b=b+a인 연산 +은 교환법칙을 만족하며, 교환법칙을 만족하는 연산이나 대수적 구조를 '''가환'''(commutative)이라 한다. 가환인 연산은 보통 덧셈(+)으로 표기한다<ref>보통 덧셈은 [[결합법칙]]도 만족하는 것으로 본다. 또한 곱셈 중 몇몇은 가환이므로 곱셈 기호 ·나 붙여쓰기(juxtaposition), 또는 합성 기호 <math>\circ</math>를 쓰기도 한다.</ref>. 가환이 아니면 '''가환이 아니다'''(noncommutative)라고 한다. 또한 두 대상을 교환하였을 때 부호가 바뀐다면 '''비가환'''(anticommutative)이라 한다. | |||
'''교환법칙'''(commutative law)은 두 대상을 연산할 때 연산하는 순서가 관계없음을 말한다. 즉, a+b=b+a인 연산 +은 교환법칙을 만족하며, 교환법칙을 만족하는 연산이나 대수적 구조를 '''가환'''(commutative)이라 한다. 가환인 연산은 보통 덧셈(+)으로 표기한다<ref>보통 덧셈은 [[결합법칙]]도 만족하는 것으로 본다.</ref>. 가환이 아니면 '''가환이 아니다'''(noncommutative)라고 한다. 또한 두 대상을 교환하였을 때 부호가 바뀐다면 '''비가환'''(anticommutative)이라 한다. | |||
== 정의 == | == 정의 == | ||
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* <math>\mathbb{R}</math>위에서의 [[내적공간]]의 [[내적]] 연산은 가환이다. | * <math>\mathbb{R}</math>위에서의 [[내적공간]]의 [[내적]] 연산은 가환이다. | ||
* [[거리공간]]의 [[거리함수]]는 두 점에 대하여 가환이다. | * [[거리공간]]의 [[거리함수]]는 두 점에 대하여 가환이다. | ||
* 몇몇 [[논리 연산자]]들은 가환이다. 예를 들어, | * 몇몇 [[논리 연산자]]들은 가환이다. 예를 들어, | ||
*: OR 연산자: <math>\phi \vee \psi \Leftrightarrow \psi \vee \phi,</math> | *: OR 연산자: <math>\phi \vee \psi \Leftrightarrow \psi \vee \phi,</math> | ||
*: AND 연산자: <math>\phi \wedge \psi \Leftrightarrow \psi \wedge \phi,</math> | *: AND 연산자: <math>\phi \wedge \psi \Leftrightarrow \psi \wedge \phi,</math> | ||
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=== 비가환인 연산 === | === 비가환인 연산 === | ||
* [[복소수]] 집합에서 정의된 [[뺄셈]]은 비가환이다. | * [[복소수]] 집합에서 정의된 [[뺄셈]]은 비가환이다. | ||
* 3차원 [[유클리드 공간|(유클리드) 공간]]에서 정의된 [[외적]]은 비가환이다. | * 3차원 [[유클리드 공간|(유클리드) 공간]]에서 정의된 [[외적]]은 비가환이다. | ||
* [[리 대수]]와 [[리 환]]에서 정의된 리 브래킷은 비가환이다. | * [[리 대수]]와 [[리 환]]에서 정의된 리 브래킷은 비가환이다. | ||
=== 가환도 비가환도 아닌 연산 === | |||
* 대부분의 곱셈은 여기에 포함된다. 대표적으로 <s>우리를 고생시키는</s> 행렬의 곱셈이 있다. | |||
==참고== | ==참고== |